第一章 绪论第一章 绪论1.1 引言岩体是经历过变形 遭受过破坏的地质体[1] 受其成因 组成 组构 演化过程 生成时代及其所处的大地构造环境等的影响 岩土材料具有高度非连续性 非均匀性 以及各向异性等鲜明的地质特点 在力学性质上表现出强烈的非线性 非弹性等多变 的力学行为 岩土工程是一门综合应用岩石力学 土力学 工程地质与基础工程学的基本知识 和手段来解决工程实际建设中的有关岩体 土体变形及稳定问题的学科 它的任务主 要是在极其复杂的地质条件 自然环境和人类活动中确保岩体和土体不会因强度不足 或变形过大 而使岩土体本身发生局部或整体的失稳破坏 或与岩土体密切相依的建 (构)筑物或构筑物失去正常运营的条件或丧失工程功能 近30 年来 随着大型水利水电工程 土木工程 采矿工程 公路工程 铁路隧道 工程等的迅速发展 作为岩土工程的基础学科的岩土力学得到了长足的发展 世纪性 的或特大型的工程实践活动为岩土力学的发展赋予了巨大的动力 也同时提出了许多 极为复杂多变的岩石力学课题 陶振宇[2] 常士骠[3] 哈秋聆[4] 杨志法[5] 孙钧[6] 谢和平等[7] 傅冰骏[8] 顾宝和[9] 郭书泰[10] 王芝银[11] 杨更社[12] 李荣强等[13] 对岩 石力学现状 最新进展以及岩土工程技术的发展现状作了详细的总结 解决岩土力学问题的方法主要有实验方法 理论分析方法和数值模拟方法三大类 这三类方法相辅相成 互为补充 其中数值模拟是解决岩土工程问题的有效手段 已 被学术界和工程界广泛接受作为一种力学状态的分析工具 它越来越多地被应用于岩 土体稳定性 岩土工程设计和岩土工程基本问题分析中[14] 刘怀恒[16] 周维垣[17] 王 泳嘉与冯夏庭[18] 李宁等[19] 栾茂田等[20] 对岩土力学数值分析方法与最新进展进行了 系统的综述 1.2 岩土力学数值分析方法及其研究进展 近30 年来 岩石力学数值方法得到了迅速发展 出现了有限差分法 (FDM Finite 1 大连理工大学博士学位论文 Difference Method) 有限元法 (FEM Finite Element Method)[22] 边界元法(BEM Boundary Element Method)[27] 无限元法 (IEM Infinite Element Method)[29] 拉格朗日 元(LEM Lagrangian Element Method)[30] 刚体弹簧模型或刚性有限元法 (RBSM Rigid-Body-Spring Model 或RFEM Rigid Finite Element Method)[46] 离散元法 (DEM Distinct Element Method)[59] 非连续变形分析(DDA Discontinuous Deformation Analysis)[71] 无单元方法 (Meshless/Gridless/Element-Free Methods)[108] 流形方法 (MM Manifold Method)[92] 及其混合数值计算方法[133] 和以数值模拟为主的 渐进破坏 模型 (Progressive Failure/Fracture/Damage Model) [146] 等各种数值分析技术 这些数值 方法按其特点可大致分为连续变形分析方法和非连续变形分析方法两大类 其分别将 岩体介质抽象为连续介质模型 (或等效的连续体模型) 和离散体系统两类模型进行数 值分析 下面对各种方法的研究现状及最新进展进行综述 1.2.1 连续变形分析方法 这类方法主要包括 有限差分法 有限元法 边界元法 无限元法等 其重点在 于分析岩土介质的连续小变形 小位移特性 其中以有限元应用最为广泛 有限元在 连续性分析方面取得了很大的成功 但同时也遇到了一些本身不可克服的困难 例如 前处理困难 计算应力 应变解答不连续 难以进行任意路径开裂计算等 为了充分 考虑岩土介质的非连续性 非均匀性 多相性等特点 这些连续性方法 特别是有限 元方法 仍然在不断更新和发展之中 此外 以连续介质大变形分析为目的的拉格朗日元法在实际工程中也得到了较好 的应用 拉格朗日元法运用流体力学中跟踪质点运动的物质描述方法 即拉格朗日拖 带坐标系方法 利用差分格式 按显式时步积分方法进行迭代求解 根据构形的变化 不断更新坐标系 来模拟岩土介质的有限变形和大位移行为 该法在实用化方面 由 美国 ITASCA 咨询集团于 20 世纪 80 年代所发展的专用程序 FLAC (连续介质快速拉格 朗日分析 Fast Lagrangian Analysis of Continua) 已广泛应用于边坡 基础 坝体 隧道地下采场和洞室等岩土工程分析中[30] 这种方法可以同时考虑材料和几何非线性问题 适合于岩土力学中的大变形问题 并能够跟踪物体变形的全过程 但是在具体进行数值分析时 尽管避免了象有限元法 那样进行大型矩阵的复杂操作 然而时间步长选择的恰当与否变成了另外一个突出的 问题 时步过大会导致解答的不稳定 太小又会使计算时间过长 王泳嘉教授 栾茂 田教授等对这种方法的基本原理与具体应用进行了较为详细的介绍[30] 这里不再详述 2 第一章 绪论1.2.2 非连续变形分析方法 1.2.2.1 界面单元有限元法 (FEM with interface elements) 为了推广有限元方法 使其能够处理简单的非连续性问题 人们提出了各种能够 反映非连续性质的简单力学元件或特殊界面单元用于模拟单一非连续界面的力学行为 [21] 这类方法主要包括有 联结单元 (Linkage Element) (Ngo 和Scordelis 1967) 无厚度接触单元法或节理单元法(Joint Element) (Goodman 1968) 薄层单元法(Thin-Layer Element) (Desai 1982 1984) 接触 摩擦单元 (Contact-Friction Interface Element) (雷晓燕和 Swoboda 1994) 其中联结单元法与节理单元法是在性质差异悬殊 的两相邻单元间界面上设置法向与切向弹簧 一旦法向弹簧受拉则视界面发生分离 若切向相互作用力超过界面的极限强度则认为界面产生相对滑移 而薄层单元法假定 界面是由特殊介质所组成的厚度很薄 (约取为周边单元平均宽度的 0.01~0.1 倍) 的实 体单元 这种单元的本构性质取决于周边介质力学性态 由试验直接测取 通常认为 界面的法向性质与周围岩土材料相应特性相同 Desai 与Nagaraj(1988)对此曾提出采用 非线性方程来考虑法向应力 应变关系 关于切向响应特性 Desai 等研制了一套循环 直剪试验仪来测定界面剪力与相对滑移距离之间的依赖关系 并建议用多项式函数或 五参数 Ramberg-Osgood 模型加以描述 所谓接触 摩擦单元与接触单元的区别在于它 采用节点接触应力代替节点接触力 对于接触面的几何方面与静力学方面的约束条件 用附加条件纳入到系统方程中 从而能够通过计算自动满足接触界面的滑移 分离以 及粘结真实状态 这类方法将岩土介质视为准连续介质 仍以连续分析为主 但可以对个别具有控 制作用的宏观非连续面的变形与破坏等力学效应给予重点分析 在工程中得到了一定 应用 但由于下述自身的缺陷而受到了限制[21] 在处理复杂的非连续变形问题时显得 无能为力 例如 (1) 只能对原生的非连续界面进行计算 对次生的非连续界面无法处 理(2) 界面单元数目不能设置得太多 (3) 界面弹簧刚度的选取较为困难 1.2.2.2 刚体 – 弹簧模型或刚性有限元法 (RBSM 或RFEM) 这类模型将离散后的块体视为刚性的 块体之间用界面上法向与切向弹簧相联结 以块体形心处刚性位移为基本变量 用分片的刚体位移模式逼近实际整体位移场 以 块体间联结弹簧反映结构内部的弹性 并用界面应力表征结构内部的应力[46]~58] 如刚 体–弹簧模型 (RBSM)(Kawai 1977) 刚性有限元 (钱令希 张雄 1991) 分块刚 体位移 – 界面应力元法 (卓家寿等 1993) 块体 – 弹簧模型 (Wang Garga 1993) 在这类模型中 界面特性均假设服从于 Coulomb 摩擦定律 考虑体系的静力学约束条 3 大连理工大学博士学位论文 件比较充分 对于连续状态的应力分析往往可给出较高的计算精度 对于临界状态 (初 始失稳前) 能够用于估算出极限荷载 并可有效地用于少量块体界面间的摩擦接触分 析 但这类方法过分强调岩土体结构面的作用 而对于岩体的结构体的变形未给予足 够重视 虽然可以用于分析原生界面的破坏分析 但不能模拟实际岩体的破坏发展过 程 对于破坏发展导致的次生界面的非连续变形行为以及块体失稳后的运动过程也无 法进行模拟 1.2.2.3 基于块体理论的非连续变形分析方法 (Discontinuous Deformation Analysis Methods Based on Block Theory) 为了更好地模拟岩土材料的非连续变形行为 各国学者做出了卓有成效的工作 这类方法主要是以离散块体系统为研究对象 针对岩土体的非连续与非均匀性特点 将岩土体视为完全非连续介质 对构成离散系统的各个子块的变形 运动行为进行数 值仿真[59] 其中研究较多的且颇具代表性的方法有离散单元法 (Cundall 1971) 非连 续变形分析 (Shi 1989) 和流形方法 (Shi 1992) 离散单元法 (DEM Distinct Element Method) 是由美国 Cundall 等(1971)提出 它是以软弱结构面切割而成的离散块体为基本单元 其几何形状取决于岩土结构中非 连续面的空间位置及其产状 在块体间的接触约束下运用牛顿运动定律描述各块体的 运动过程 离散元法有动态松驰法和静态松驰法两种 目前离散单元法大都采用动态 松驰法 动态松驰法是把非线性静力学问题转化为动力学问题来求解 用显式中心差 分法来近似地对运动方程进行积分计算 并假设块体在运动时动能将转化为热能而耗 散掉 在计算中引入人工粘性阻尼以使系统达到平衡 运动趋于稳定 经过近 30 年的 发展 离散单元法已成为模拟岩土体非连续大变形的有效的数值方法之一 目前 二 维离散单元法趋于成熟 主要表现在商业化软件已经进行入实用化阶段 用于解决一 些工程问题 对于三维离散单元法 自1988 年Cundall 发表三维离散元的具体算法[66] 以来 发展速度也很快 国内刘连峰[64] 和焦玉勇[67] 两位学者的工作较有代表性 但是 由于三维问题算法的复杂性 特别是块体间接触判断算法的复杂性 二维离散单元法 向三维离散单元法的过渡大约花了将近 20 年的时间 而且目前还处于研究阶段 非连续变形分析 (DDA Discontinuous Deformation Analysis) 方法是继离散单元法 之后 从20 世纪 80 年代末以来发展起来的一种更新的模拟散体系统力学响应的数值 分析方法 1988 年石根华博士发表了其博士学位论文 Discontinuous deformation analysis a new numerical model for the static and dynamics of block systems [71] 标志 着DDA 方法的诞生 该方法得到国际认可 受到美国岩石力学权威 Cook Goodman Desai 和Zaman 等极力推崇 为了推广 DDA 方法 从1996 年起 每两年召开一次国 际非连续变形分析会议 以进行这一领域研究成果的及时交流 这一方法在其诞生后 4 第一章 绪论的10 余年时间里 发展速度非常快 非连续变形分析方法用隐式方程 它类似于有限 元 所不同的是它引进了运动方程 用最小势能原理把块体之间的接触问题和块体本 身的变形问题统一到矩阵的求解 理论严密 精度较高 而且把静力和动力 正分析 和反分析统一起来 不仅可以计算破坏前的小位移 也可以计算破坏后的大位移 对 滑动 崩塌 爆炸及贯入等问题十分有效 是不同于 DEM 的新的数值计算方法 鉴于 DDA 是一种 DEM 之后新兴的非连续变形分析的方法 下面对其在近几年的 进展进行详细介绍 近几年 DDA 发展较快 但综观有关文献主要集中于三个方面 (1) 接触算法改 进(2) 加入块断裂力学 考虑块体破裂 (3) 精化计算块内场函数值 考虑块体本身 的变形 石根华 (1988) 最早用罚函数法来处理非连续面上的接触问题 罚函数法用于处理 块体间的无侵入接触的主要优点是 (1) 罚弹簧的加入不会增加总体方程数目 (2) 总 体方程仍为对称正定 (3) 当罚弹簧刚度系数选取适当 可有效地保证块体间的正确接 触状态 但是文献计算表明 DDA 采用罚函数法会导致以下一些问题 (1) 接触问题解的精度高度依赖于罚弹簧刚度系数的选取 罚值选取不当会导致块 体间的侵入 (2) 罚函数法仅是使接触条件得到近似满足 (3) 罚函数法无法求得正确的接触力 而接触力的计算对于工程问题的分析有时显 得比块体的运动状态的描述更有实际意义 Lin (1994 1995)[72] 最早应用扩展 Lagrange 乘子法 (ALM: Augmented Lagrange Multiplier Method)来代替罚函数法进行接触处理 其具体思想如下 首先构造扩展 Lagrange 乘子格式 pd k k + = + * * 1 λ λ (1-1) 其中 为Lagrange 乘子 λ p 为在迭代开始时任意给定的罚数 d 为块体间的侵入距离 如图 1-1 所示 Block j Block i d 图1-1 两块体间的接触关系图 Fig.1-1 Contact between two blocks 5 大连理工大学博士学位论文 通过迭代计算 直至侵入距离 小于某一允许值为止 d 此时的 Lagrange 乘子 即 为块体间的接触力 λ 该法的优点是在迭代开始时可给定任意大小的罚数 p 理论上 无论 值如何给定 p 通过迭代计算 侵入距离 总能小于一允许值 d 从而使块体间的 接触关系得到精确满足 Lagrange 乘子在迭代过程中将收敛于真实的接触力 由于采 用了迭代格式 因此这种扩展 Lagrange 乘子法并不增加总体方程的数目 总体方程仍 保持对称正定 Lin 的工作主要是针对法向接触力进行了扩展 Lagrange 乘子迭代计算 而对于切向接触力的迭代计算格式没有给出明确的算法 后来 为了更准确地求解块体系统的接触力 我国学者蔡永恩 (1996 1998)[74] 采用Lagrange 乘子法和分区解法 在石根华 (1988) 的DDA 的基础上提出了 Lagrange 非连续变形分析方法(LDDA Lagrangian Discontinuous Deformation Analysis) 栾茂田 黎勇(1999)[76] 提出基于接触力元的非连续变形分析方法 这些方法的特点是将接触力 或接触界面的流动距离作为未知参数 纳入总体方程进行求解, 从而得到接触界面上的 真实接触力 这些方法的特点是可以较准确地得到接触界面上的接触应力 而且界面 的物理与几何约束关系也考虑得比较充分 但由于接触力或流动距离等参量增加了总 体方程个数 增加了总体方程求解的计算量 当考虑的块体较多时 这种情况会更为 严重 这些方法的总体方程一般不对称 在石根华 (1988) 的DDA 中 没有考虑块体本身的破裂问题 而在实际岩体工程 中 岩体中裂纹的扩展以及块体在受力过程中的破坏必须加以考虑 Ke (1993)[78] 为了计算块体内的各种应力状态以及模拟完整块体中裂纹的扩展 发 展了基于人工节理的非连续变形分析方法 (Artificial Joint-Based DDA) 人工节理的概 念主要包括两方面 一方面 Ke 称之为切割(Cutting) 另一方面 Ke 称之为粘结 (Pactching) 切割的过程是在 DDA 中的块体内加入人工节理 将DDA 中的块体按照 某种节理模式分割成若干子块的集合 粘结的过程是为人工节理赋于一定的强度 使 得子块能够粘在一起 当赋于人工节理的强度为无限大时 则块体为完整块体 人工 节理两侧的子块应不会分开 但由于块体被切割成若干子块的集合 因此块体内的应 力状态能够更精确地被计算出来 当赋于人工节理的强度为有限强度时 则当子块间 的接触力超过人工节理的强度时 人工节理便会破坏 这样块体便沿人工节理发生开 裂 从而模拟了块体的破坏 Gebra (1994)[79] 则主要研究了块体在瞬间碰撞条件下的块体的破裂算法 Gebara 选取了 Voromoi 构造方法来确定在瞬态冲击载荷作用下块体的破碎模式 当块发生破 碎时 在块内分布 N 个泊松点 将块体分成随机形状的子块集 每一子块赋于一初始 速率 然后进行下一时步的 DDA 分析 撞击和进一步破碎 这种块体的破裂不考虑块 6 第一章 绪论体内的裂纹对块体破坏的控制作用 而是基于计算机图形学理论 给出一种统计意义 上的破碎模式来模拟块体的破碎 这种方法主要用于瞬态冲击荷载作用下块体的破碎 Lin (1995)[73] 在其博士学位论文中发展了一种块体破裂算法 可考虑块体发生剪切 破坏或拉伸破坏 这一改进使得 DDA 可进行断裂扩展问题的分析 值得一提的是 Lin 采用了三参数 Mohr-Coulomb 破坏准则 其中三个参数分别为 0 0 , , T S ? 其中 为块体材料的抗剪强度 0 S ? 为块体材料内摩擦角 0 T 表示块体材料 的抗拉强度 破坏准则如图 1-2 所示 1 σ 3 σ 1 σ 3 σ 1 σ 3 σ 2 4 ? π ? 0 T 0 C ? C 3 σ 3 1 σ σ = 图1-2 主应力空间中的三参数 Mohr-Coulomb 破坏准则 Fig.1-2 Three parameter Mohr-Coulomb criterion in ( , ) space 1 σ 3 σ 在图 1-2 中3C σ 为发生剪切破坏与拉伸破坏时最小主应力的临界值 由下式计算 ? ? ? ? ? ? + + ? = 2 4 π tan2 0 0 3C ? σ T C (1-2) 其中 ? ? ? ? ? ? + = 2 4 π tan 2 0 0 ? S C (1-3) 为块体材料的单轴抗压强度 按照 Mohr-Coulomb 破坏准则 剪切破坏判据为 3C 3 σ σ < (1-4) 7 大连理工大学博士学位论文 其中 ? ? ? ? ? ? + + ? = 2 4 π tan2 1 0 3 ? σ σ C (1-5) 拉破坏判据为 0 1 T = σ (1-6) 由式(1-2)~(1-6)可以看出 为了进行块体本身的破坏判断 必须准确地计算块体内 的应力状态 在石根华 (1988) 的DDA 中块体为常应变 因此无法用上述判据进行破 坏分析 为此 Lin (1995) 采取了与 Ke (1993) 一样的方法 即将块体分为若干子块的 集合 在子块间用一刚度较大的弹簧进行约束 以使之相互粘结在一起 从而使得更 精确地计算出块体内的应力状态 Lin (1995) 应用这一破坏准则以及将块体划分成子 块的方法研究了块体的破坏以及块体系统在破裂过程中的能量守恒问题 这种方法在 DDA 块体的破坏分析中得到了应用 由于石根华 (1988) 的DDA 中 块体内的位移模式为一阶多项式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 2 ) ( 0 ) ( 0 1 0 0 2 ) ( 0 ) ( 0 1 a a a a a a y y x x y y x x v u (1-7) 因此块体位移模式为线性模式 块体应变为常应变 当块体本身的变形较为复杂或为 了进行块体破坏分析等方面的研究时 需精确地计算出块体内的应力状态 因此最近 几年 许多学者提出了各种精化计算块体内场函数值方法 这些方法大致可分为以下 三大类 (1) 将块体划分为若干子块的集合 (2) 块体内细分网格的方法 (3) 采用高 阶位移插值函数 Lin (1995)[73] 和Ke (1993)[80] 在原 DDA 中增加裂纹扩展功能的工作主要采用了在块 体内划分子块的方法 这种方法是将块体的变形用更细的子块的变形来描述 以达到 提高块体变形及应力场计算精度的目的 这种方法的优点是实施简单 但由在子块体 内仍为常应变状态 因此理论上讲只有当子块划分的足够密时 块体内的位移及应力 才可趋于精确解 块体内细分网格的一般做法是在块体内再划分有限元网格 将DDA 与FEM 相耦 合Shyu (1993)[82] 提出了节点 DDA 的思想 这种方法是通过在块体内增加有限元网格 的方法从而达到精化计算块体内位移场及应力的目的 8 第一章 绪论后来 Koo (1996)[83] 和Ma (1996)[84] 分别采用了三阶多项式作为块体的位移模式近 似????????????????????????=??????19 3 1 0 3 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a a a a y y x y y x v u M L L (1-8) 从而更准确地计算出了块体内的位移及应力状态 由于通过提高块体本身位移模式的 阶次来提高块体变形计算精度的方法 在理论基础上与石根华 (1988) 的DDA 一致 因此应用较广 但是这类方法存在的一个问题是 当块体变形能力提高后 变形后的 块体将出现曲线边界 这样在原来以线性变形为基础的接触处理方法需作相应的处理 如对于一条直线边 可用两个接触点来描述其接触状态 但对于一条曲线边 两对接 触点就不能很准确地描述块体边界上的接触状态 直到最近 有关这方面的研究还很 少 另外 在块体系统变形过程中 块体间的碰撞是经常发生的现象 在石根华 (1988) 的DDA 中没有考虑块体碰撞过程中的能量损失 因此有时会导致块体回弹变形偏大 甚至发生错误 裴觉民 (1996)[85] Chen (1996)[86] 初步研究了块体变形破坏过程中的能 量损失问题 同时裴觉民指出 应通过物理学 热力学知识来建立物体间碰撞过程中 的能量损失定量计算公式 在石根华 (1988) 的DDA 中 当块体转动角 很小时 θ 由于采用了小转角假定 即θθ=sin 1 cos = θ (1-9) 当块体发生较大转动时 会产生一系列问题 如块体形状由于转动发生膨胀变形 由 于旋转引起局部坐标系的旋转 从而使得计算的应力场 应变速度场以及位移场发生 扭曲等 Chen (1996) [86] Ke (1996)以及 MacLauhlin (1996) [87] 分别对 DDA 中块体的刚 体转动问题进行了研究 改正了原 DDA 中的小转角假设 以上是 DDA 方法在近几年的一些进展的综述 关于其最新进展 将反映在于 2001 年英国召开的新一届国际非连续变形分析会议论文集中 所有这些对 DDA 的改进 都使得 DDA 更加适合于岩体变形的计算分析 由于 DDA 在运动学约束方面比较充分 理论上比较严密 且静力 动力分析采用了统一的 数值计算格式 因此在结构 岩体或土体的非连续大变形力学过程 (如破损 失稳 极限分析) 模拟方面具有一定的潜力 9 大连理工大学博士学位论文 1.2.2.4 流形方法 (MM: Manifold Method) 在以上讨论的这些方法中 有限元等方法将岩体理想化为完全连续介质 离散单 元法等又将岩体抽象为完全非连续介质—离散介质 这其实是走向了问题的两个极端 将连续变形与非连续变形统一起来的方法将更适合实际岩体变形的分析 因此 近几 年 另一种更新颖的数值方法 – 流形方法引起学者们的兴趣[92] 流形方法是石根华 (1992) 应用流形的覆盖技术建立的一种把有限元法 非连续变 形分析方法和解析方法包含在内的全新的统一计算方法 由于流形方法可在统一的理 论框架下处理连续与非连续变形的计算分析问题而引起了许多学者的兴趣 成为目前 计算岩土力学中的热门话题 在国内 王水林 (1998) 等学者对流形方法作了较为系统的研究 关于流形方法的 基本原理 最新进展将在稍后的章节中作更为详尽的叙述 流形方法的优点很明显 即它具有相对完善的非连续变形处理的功能 可以在统 一的数学理论框架下同时处理连续问题与非连续问题 较之于有限元方法更适合于开 裂模拟 但由于受网格连接与单元划分的限制 流形方法在开裂计算上仍较为困难 1.2.2.5 无单元类方法 (Element-Free/Meshless/Gridless Methods) 对于岩体这种介于连续与完全非连续介质之间的材料 沟通连续变形与完全散体 的非连续变形的桥梁是岩体中的地质非连续面的扩展 贯通等的破坏行为 它是联接 岩体变形过程中初始阶段与终了阶段的一条纽带 在整个岩体变形全过程中 这些非 连续面的变形 扩展以及失稳对整个工程岩体结构的稳定性是至关重要的 如在国家 九五 科技攻关项目中一个重要的课题就是高拱坝的开裂稳定性分析 而现有的基 于网格划分的方法 由于均是基于单元离散的思想 在分析裂纹扩展时 都遇到了以 下两方面的困难 (1) 网格重新划分的困难 (2) 裂纹扩展结果非常严重地受到网格划 分形式的影响 自20 世纪 70 年代起 国内外许多学者致力于探索一类不需要生成网格或单元 仅用一系列点对求解域进行离散的数值方法 (Element-Free/Gridless/Meshless Methods) [105] 这类无网格方法摆脱了单元的限制 较之于有网格的方法更适合于裂纹的开裂计 算分析 下面对无网格类方法的发展历史作一简短的回顾 作为对传统有限差分方法的改进 Perrone Kao (1975) [105] 最早采用任意网格 (Arbitrary Meshes)技术将传统有限差分法进行扩展 提出广义有限差分法 (the General Finite Difference Method) 接着 Liszka Orkisz (1980)[106] 进一步应用 任意不规则网格 (Arbitrary Irregular Grids) 的有限差分方法进行了应用力学课题的计算分析 在此基础 上Liszka (1984) [107] 提出了一种任意点集上的插值构造方法 这可看作是无网格技术 10 第一章 绪论的最初萌芽 在Lucy (1977)[108] Gingold 和Moraghan (1977 1988)[109] 以及 Moraghan (1995) [110] 等学者的工作中提出了仅用一系列散点或质点进行计算分析的 光滑质点流体动力学 (SPH Smooth Particle Hydrodynamics) 方法 Swegle Hicks 和Attaway (1995)[111] 发现SPH 方法中存在张拉不稳定性 Tensile Instability 并提出了一种稳定化方法 在SPH 方法中 引入了节点的星 (Star) 的概念 应用每一个星所包含的节点个数及位置 信息 通过星中心点处的局部泰勒展式来构造星的局部近似场函数 这一方被广泛应 用于计算物理以及天体物理领域的星球运动及星球间碰撞的模拟 在讨论无网格方法 的发展历史时 人们常常把 SPH 作为无网格技术的最初成功应用 后来 Lancaster 和Salkaushas (1981)[112] 在研究曲面插值时 通过引入了滑动最小 二乘插值 (MLSA Moving Least Square Approximations) 的思想以及具有奇异性的权 函数 将标准最小二乘插值进行推广 提出了滑动最小二乘法 (MLSM Moving Least Square Method) 滑动最小二乘法可用一系列散点构造出在全定义域上光滑的 而不是 局部光滑的总体近似函数 但是直到进入九十年代 滑动最小二乘方法才被应用于边值问题的求解 Nayroles (1992(法)) 等[113] 将滑动最小二乘法运用于边值问题求解 提出扩散单元法 (DEM Diffuse Element Method) 扩散单元方法仅用节点和边界描述对 Galerkin 方程进行离散 求解 通过加权最小二乘 (WLS Weighted Least-Squares) 方法对节点值进行拟合 得 到插值函数多项式 Belytschko 等(1994)[114] 在Lancaster 和Nayroles 等人工作的基础 上进一步导出被 DEM 忽略掉了的插值函数的导数形式 并提出了基于滑动最小二乘法 的无单元伽辽金法 (EFGM Element Free Galerkin Methods) 无单元 Galerkin 法在其 诞生后的短短几年中得到了迅猛发展 Belytschko (1999)[115] 对近年来 EFGM 的最新发 展做了报道 在国内 冠晓东 周维垣 (1998)[115] 庞作会 葛修润 (1999)[117] 等学者 对这种方法进行了引入 改进和推广研究 至此 可以认为是无网格方法的真正诞生 DEM 和EFGM 可认为是这一新兴数值方法的典型代表 其中 EFGM 应用较为广泛 无论是 DEM 还是 EFGM 都不需要有限差分网格或有限单元网格 而且如果权函 数及其导数连续 则解及其导数亦连续 无需网格 高阶连续的近似解是这些方法较 之于传统有限单元法的突出优点 以建立更准确有效的无网格插值函数构造方法为目的 Liu 等(1995)[119]] 基于 Reproducing Kernel 及小波变换理论提出了另外一种无网格方法 – RKPM Reproducing Kernel Particle Method RKPM 通过应用移动积分窗口的技术建立了一种新的形函数形 式 窗口函数可以在求解域上移动和胀缩 从而以另外一种形式达到无需单元以及网 格细化的目的 Duarte 和Oden (1995)[123] Oden 和Duarte (1998) [124] 提出的基于云团概念的 hp 11 大连理工大学博士学位论文 型有限单元法(Cloud-based hp Finite Element Method)以及 Babuska 和Melenk(1997)[125] 提出的单位分解方法 (PUM Partition of Unity Method)可以认为是无网格方法的另一研 究分支 这两种方法的基本思想均是应用具有单位分解的形函数将局部定义的近似解 相互联接 从而构造出总体场函数的近似解 其它的无网格方法还有如 Particle In Cell (PIC)法[128] 有限点法[129] 等 为了消除 DEM 及EFGM 中的用于数值积分目的积分网格或辅助网格 实现真正 意义上的无网格方法 边界元的创始人 Atluti 及共合作者 Zhu (1998)[131] 在LBIE 的基 础上 采用微分方程的局部对称弱形式 (LSWF Local Symmetric Weak Form) 运用滑 动最小二乘法构造局部子域上的试函数 采用属于不同空间的试函数和权函数 把在 全求解域上的 Galerkin 方程简化为在各子域上的局部 Galerkin 方程进行求解 从而导 出了即不用有限差分或有限单元网格 也不用全求解域上的积分网格或辅助网格的一 种新的无网格方法 由于在这种 Galerkin 方法在局部对称弱形式中 采用了属于不同 空间的试函数和权函数 因此被命名为 局部伽辽金无网格(MLPG Meshless Local Petrov-Galerkin)方法 这一方法可看作是一种特殊形式的子域法 该法与 DEM 及EFGM 的主要差别在于采用了局部对称弱积分形式 使得数值积分在子域上完成 而 不再象 DEM 或EFGM 那样在全求解域上布置用于积分目的积分网格或辅助网格在整 个求解域上进行数值积分 但是 Atluti 虽然未明确说明 该法在子域上的数值积分仍 需要一些积分网格 另外这种方法导出的总体方程为非对称矩阵 为更准确地求解非线性问题 Zhu Zhang 和Arluri (1988)[132] 建立了在规则局部子 域上的局部边界积分方程 (LBIE Local Boundary Integral Equation) 运用滑动最小二 乘法构造局部子域上的插值函数 提出了局部边界积分方程无网格 (LBIE Meshless Local Boundary Integral Equation) 方法 LBIE 方法的主要问题是子域上边界积分为奇 性积分以及导出的总体方程为非对称矩阵 需作一些特殊处理 以上这些无网格类方法 由于其具有无需有限单元网格 前后处理简单 以及较 传统有限单元法更适合于断裂问题的计算分析等的优点 因而受到了学术界的广泛关 注 无单元类方法在进行裂纹扩展的模拟时 不再陷入传统有限元方法需要重新剖分 网格的困难 代之为仅仅在裂尖局部区域内布置节点 大大简化了前处理 使得无单 元方法较之传统有限元方法在剖分策略上更适合于断裂问题的计算分析 但是对于以 EFGM 为代表的无单元类方法 现有大量的研究成果大都集中于裂纹 扩展模拟方面 如何将无单元方法应用于岩土力学的数值计算仍存在许多问题 如非 连续材料插值函数的构造问题 摩擦接触问题以及多体相互作用问题等的处理等都需 作进一步深入研究 12 第一章 绪论1.2.2.6 耦合方法(Couple Methods) 除了上述各种数值方法与模型之外 耦合的方法也得到了发展与应用[133]~[137] 如 有限元与边界元的偶合 有限元与离散元的耦合 离散元与边界元耦合等等 这些耦 合方法可发挥各种方法各自的优点 以上简单地叙述了计算岩土力学领域内颇具代表性的几种数值方法 所有这些数 值方法中 以有限元为代表的连续性分析方法在实际岩土工程中应用较为广泛 特别 是对于岩体比较完整或者节理裂隙密集且符合统计规律但又不贯通的岩体更是如是 但从学科发展来看 在普遍意义上更符合实际岩体变形特点的非连续变形分析方法将 具有广阔的发展空间 上述的岩土力学数值方法的发展过程也昭示了这种趋势 特别 是连续性分析 开裂以及非连续性分析的统一问题长期没有得到很好地解决 在这一 方面有待于作进一步深入的理论研究 1.2.2.7 渐进破坏模型 (Progressive Fracture Models) 近年来 一些学者从细观力学的角度 利用扫描电镜对岩石的细观时效损伤特性 和损伤力学行为 包括岩石的细观组构 初始细观损伤特性 单调拉伸和压缩加载条 件下岩石的强度 变形及其细观破坏特性 以及细观条件下岩石的时效损伤发展及其 蠕变特性与破坏形态分析等等 进行了大量的细观试验分析 (孙钧 1996)[6] 这些研 究成果受到国内外学者的相当重视 (张梅英 袁建新 1998)[144] 岩石细观损伤演化的实验[138] 表明 岩石断裂破坏的实质是岩石在受力过程中微裂 纹的萌生 扩展直至贯通的结果 是岩石微观结构变形破坏的累积的宏观反映 而现 有的各种数值计算方法 仍然只能处理连续介质力学问题 即使一些非连续介质力学 方法 (如DEM DDA) 也难以考虑岩石从细观破裂到宏观破坏的过程 对岩石介质而 言 模拟基于细观分析的岩石宏观变形 损伤直至破坏和失稳过程 研究地基与滑坡 地震 岩爆等非稳定现象有关的数值计算方法仍然是一个难题 (唐春安 1997)[15] 渐近破坏模型是通过材料微结构的演化与变形局部化行为的研究 对材料在变形 损伤与破坏时所产生的本质现象与因果关系进行模拟的方法[146]~[158] 与已有各种数值 计算 方法不同 它注重材料的细观断裂机理与断裂规律的研究 侧重对事物内在 机理的 模拟 渐进破坏模型主要是在对复合材料以及岩石等脆性材料的破坏研究时 提出的 这类方法一般包括两个方面 应力分析和破坏分析 应力分析可以用解析法 和有限元法 破坏分析是根据一定的破坏准则 来检查材料结构中是否有单元破坏 对于岩石等脆性材料而言 东北大学岩石破裂与失稳研究中心研制开发出了相应的岩 石渐进破坏分析软件 RFPA(Rock Fracture Progressive Analysis) RFPA 软件通过考虑材 料的非均匀性来模拟材料的非线性 通过单元的弱化来模拟材料变形 破坏的非连续 13 大连理工大学博士学位论文 行为 该法用于对裂纹扩展 岩层移动 震源孕育模式及微震活动性 复合材料破坏 等方法数值模拟 取得了良好的效果[154] 唐春安及其合作者的工作为岩石等材料的细观破坏机理的数值模拟研究提供了很 好的思路 即对于岩石类性质极其复杂的非均匀材料而言 不一定一味追求数学上的 高度精确的描述 而可以代之以用一种数学上相对简单的 但却能充分反映材料性质 复杂性的分析计算方法来达到的材料破坏细观过程模拟的目的 1.3 论文的研究目的 从客观上讲 岩体介于连续介质与非连续介质之间 因此有人称之为 断续介质 实际工程中岩土体的变形破坏过程一般是一个从小变形积累 损伤演化 宏观裂纹形 成与扩展 断裂贯通 直至发生散体的刚体运动等大变形 大位移的一系列复杂的渐 进变形与破坏过程 作为 断续 介质 岩体中地质非连续面的破坏发展是其变形的 主要特点 是岩体从连续变形向完全非连续变形过渡的必经之路 流形方法解决了在数学上对连续与非连续材料域总体近似函数统一构造的问题 从而使得连续变形与非连续变形问题的统一分析成为可能 现有流形方法具有可进行 连续分析 完全非连续形问题以及带有裂缝等非连续界面的张开 滑移分析的能力 但由于仍沿用传统有限元方法单元连接的方法 在开裂计算以及渐近破坏分析方面仍 具有相当的局限性 以无单元 Galerkin 法(EFGM) 为代表的无单元类方法为成功解决 前处理与裂纹扩展问题提供了一条有效可行的途径 但无单元方法在非连续变形分析 方面 如多体的相互作用 接触分析等方面 远没有流形方法以及其它非连续变形分 析方法成熟 因此流形方法与无单元方法之间具有很强的互补性 如果能够将流形方 法在处理连续与非连续性问题方面的优点与无单元方法在前处理简单以及插值精度高 等的优点相结合 则可实现在统一理论框架下 处理结构与材料的连续变形 裂纹的 失稳扩展及结构开裂 非连续界面接触以及多体间相互作用等一系列复杂问题 在当前交通 国防 采矿 水工建筑设计理论中 涉及应力集中区 拉应力区导 致开裂的工程问题及建筑物的稳定问题 至今还处于探索研究 经验与分析阶段 如 拱坝有限元设计 大坝坝踵应力开裂 坝肩稳定问题 重力坝抗滑稳定 土坝滑坡的 问题多属于非线性问题 这些问题的研究进展将有助于提高水工设计的水平 在这些 工程问题中 裂纹问题多属于宏观裂纹的扩展问题 因此研究单一裂纹的稳定性与预 测其扩展路径具有重要的实际意义 无单元 Galerkin 法在追踪裂纹扩展方面取得了很 大的成功 但该法存在的最大困难在于在裂纹附近插值时 插值子域即影响圆的形状 受裂纹分布形态影响非常严重 有时导致插值失败或精度无法保证 因此研究无单元 14 第一章 绪论方法对于单一宏观裂纹的高精度计算也是很有必要的 另外 裂纹萌生 扩展 贯通等问题作为岩体破坏分析的关键问题之一 长期以 来并没有得到成功解决 而这些问题对于从细观上揭示岩体的破坏机理 裂隙分布对 岩体破坏形态的影响等等都具有非常重要的意义 因此研究节理裂隙岩体破坏全过程 的数值模拟也是本文的目的之一 1.4 论文的研究思路 本论文的研究思路如图 1-3 所示 从流形方法和无单元 Gakerkin 法的研究入手 提取两种方法的核心内容 有限覆盖思想与无网格插值技术 进一步发展了有限圆覆 盖技术与多重权滑动最小二乘法 从而形成有限覆盖无单元方法 进一步 将有限覆 盖无单元方法分别扩展应用于摩擦接触问题的处理 宏观裂纹扩展模拟以及节理 裂 隙岩体的损伤断裂演化模拟三大方面 同时 通过将有限覆盖思想与传统有限元方法 相结合 对传统有限元方法进行改进 发展了广义节点有限元法 1.5 论文的主要工作 围绕上述目标 结合栾茂田教授的国家教育部跨世纪优秀人才基金项目 非连续 变形分析及非线性海床动力学及其应用研究 主要开展了如下方面的研究工作 (1) 发展了高阶流形方法 对流形方法的基本思想进行深入研究 探讨了高阶覆盖函 数流形方法原理及数值实现过程 推导出全一阶多项式覆盖函数流形方法与全二 阶多项式覆盖函数流形方法的单元刚度阵解析表达式 在统一的格式下编制了零 阶覆盖函数 (即现有流形方法) 全一阶多项式覆盖函数以及全二阶多项式覆盖函 数的流形方法计算程序 应用程序进行了实例分析 最后指出 对于同一个问题 而言 在相同节点与单元数目前提下 高阶流形方法的计算精度明显要高于现有 流形方法 (2) 提出有限覆盖无单元方法 将流形方法的有限覆盖思想与无单元 Galerkin 法的无 单元技术有机结合 提出并发展了 有限覆盖无单元方法 (FCEFM Finite-Cover Element-Free Method) 该法以圆形数学覆盖的流形方法为基础 通过引入多重权 滑动最小二乘 (MWMLS Multiple Weighted Moving Least Square) 插值构造方法 解决了圆形数学覆盖流形方法插值构造的难题 从而将连续变形 开裂计算 非 连续变形三个环节有机地统一起来 使得该法在理论上完全具备了渐近变形 开 裂扩展模拟与破坏发展分析的能力 数值算例计算证明了该法的合理性与可行性 15 大连理工大学博士学位论文 FEM 渐进破坏分析的有限覆盖无单元方法 FCEFM for Progressive Failure Analysis 宏观裂纹扩展模拟的有限覆盖无单元方法 FCEFM for Crack Propagation Simulation 岩土工程摩擦接触问题处理的有限覆盖无单元方法 FCEFM for Contact Problems in Geotechnical Engineering 广义节点有限元法Generalized-Node Finite Element Method 多重权滑动最小二乘法 Multiple-Weighted Moving Least Square Method 无网格插值技术 Mesh-Free Technique EFGM 有限圆覆盖技术 Finite Circular Cover Technique 有限覆盖无单元方法 Finite-Cover Based Element-Free Method 有限覆盖思想 Finite-Cover Methodology MM及其高阶形式 MM and High Order MM study 图1-3 论文的研究思路 Fig.1-3 Study routines of the thesis (3) 发展可用于摩擦接触问题 多体相互作用问题分析的有限覆盖无单元方法 在无 单元理论框架下 详细讨论了扩展 Lagrange 乘子法的实现方法 给出了可用于弱 16 第一章 绪论拉型材料界面接触的扩展 Lagrange 乘子法迭代计算格式与具体算法 将其应用于 有限覆盖无单元方法 进而发展了可用于接触处理 多体相互作用的有限元覆盖 无单元方法 最后进行了实例分析 (4) 将有限覆盖无单元方法应用于裂纹的扩展 贯通等问题的数值模拟 基于任意小 步长扩展技术和裂尖能量释放过程 发展了用于宏观裂纹扩展模拟的有限覆盖无 单元方法 并进行了拉剪 压剪等各种复杂应力下的单一裂纹 多裂纹的扩展 贯通 相互影响 以及岩桥的破坏等问题的数值模拟 (5) 发展了可用于节理 裂隙岩体的损伤断裂扩展与准脆性材料的损伤演化模拟的有 限覆盖无单元方法 基于损伤力学与破坏统计理论 进一步将有限覆盖无单元方 法应用于节理 裂隙岩体的损伤断裂全过程数值模拟和准脆性材料损伤演化的数 值模拟 该法可实现对岩石 混凝土等准脆性材料在各种复杂应力下的数值试验 (6) 作为有限覆盖思想的进一步推广应用 提出并发展了三角形单元 四边形单元的 广义节点有限单元法 研究表明 广义节点有限单元法不仅有效地提高了传统有 限单元法的位移计算精度 而且更为重要的是 单元间的应力的光滑性得到了显 著改善 整个论文共分十章 为论文内容组织方便起见 将研究内容相近的章节进行归类 进而将整个论文划分了上篇 中篇和下篇三大部分 第二章自成一篇 即上篇 主要 以流形方法的研究为主 介绍了高阶流形方法的实现过程 并应用所开发的计算程序 进行了算例分析比较 这一章是整个论文研究的基础和出发点 因此将它放在了论文 较前的位置 并单独列为一篇 第三章至第六章为中篇 主要是关于有限覆盖无单元 方法的提出 基本原理及其应用等内容 这一篇是论文的主要内容 占据了论文大部 分的篇幅 下篇包括第七 八 九三章的内容 在这一篇中 作为有限覆盖思想的进 一步推广应用 主要介绍了所发展的广义节点有限元方法 各章的具体内容分别为 第一章 是关于岩土力学数值方法与最新进展 现有方 法各自的优 缺点以及计算岩土力学所面临的问题和解决思路的综述 第二章主要对 流形方法的核心思想进行了阐述 对高阶覆盖函数的流形方法进行了深入研究 第三 章介绍了有限覆盖无单元方法的提出 基本原理 第四章讨论了有限覆盖无单元方法 在处理接触 多体相互作用等方面的相关问题 第五章讨论了有限覆盖无单元方法基 于断裂力学理论对裂纹扩展问题的处理 第六章主要讨论了基于损伤力学的有限覆盖 无单元方法对节理裂隙岩体 岩石 混凝土等准脆性材料的损伤演化过程的数值模拟 第七章 第八章和第九章分别对广义节点有限单元法的基本原理 高阶形式以及广义 四节点等参元作了专门介绍 第十章是全部研究工作的一个总结与进一步工作的展望 17 大连理工大学博士学位论文 参考文献[1] 孙广忠著. 岩体结构力学. 北京 科学出版社 1988. 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第一章 绪论第一章 绪论1.1 引言岩体是经历过变形 遭受过破坏的地质体[1] 受其成因 组成 组构 演化过程 生成时代及其所处的大地构造环境等的影响 岩土材料具有高度非连续性 非均匀性 以及各向异性等鲜明的地质特点 在力学性质上表现出强烈的非线性 非弹性等多变 的力学行为 岩土工程是一门综合应用岩石力学 土力学 工程地质与基础工程学的基本知识 和手段来解决工程实际建设中的有关岩体 土体变形及稳定问题的学科 它的任务主 要是在极其复杂的地质条件 自然环境和人类活动中确保岩体和土体不会因强度不足 或变形过大 而使岩土体本身发生局部或整体的失稳破坏 或与岩土体密切相依的建 (构)筑物或构筑物失去正常运营的条件或丧失工程功能 近30 年来 随着大型水利水电工程 土木工程 采矿工程 公路工程 铁路隧道 工程等的迅速发展 作为岩土工程的基础学科的岩土力学得到了长足的发展 世纪性 的或特大型的工程实践活动为岩土力学的发展赋予了巨大的动力 也同时提出了许多 极为复杂多变的岩石力学课题 陶振宇[2] 常士骠[3] 哈秋聆[4] 杨志法[5] 孙钧[6] 谢和平等[7] 傅冰骏[8] 顾宝和[9] 郭书泰[10] 王芝银[11] 杨更社[12] 李荣强等[13] 对岩 石力学现状 最新进展以及岩土工程技术的发展现状作了详细的总结 解决岩土力学问题的方法主要有实验方法 理论分析方法和数值模拟方法三大类 这三类方法相辅相成 互为补充 其中数值模拟是解决岩土工程问题的有效手段 已 被学术界和工程界广泛接受作为一种力学状态的分析工具 它越来越多地被应用于岩 土体稳定性 岩土工程设计和岩土工程基本问题分析中[14] 刘怀恒[16] 周维垣[17] 王 泳嘉与冯夏庭[18] 李宁等[19] 栾茂田等[20] 对岩土力学数值分析方法与最新进展进行了 系统的综述 1.2 岩土力学数值分析方法及其研究进展 近30 年来 岩石力学数值方法得到了迅速发展 出现了有限差分法 (FDM Finite 1 大连理工大学博士学位论文 Difference Method) 有限元法 (FEM Finite Element Method)[22] 边界元法(BEM Boundary Element Method)[27] 无限元法 (IEM Infinite Element Method)[29] 拉格朗日 元(LEM Lagrangian Element Method)[30] 刚体弹簧模型或刚性有限元法 (RBSM Rigid-Body-Spring Model 或RFEM Rigid Finite Element Method)[46] 离散元法 (DEM Distinct Element Method)[59] 非连续变形分析(DDA Discontinuous Deformation Analysis)[71] 无单元方法 (Meshless/Gridless/Element-Free Methods)[108] 流形方法 (MM Manifold Method)[92] 及其混合数值计算方法[133] 和以数值模拟为主的 渐进破坏 模型 (Progressive Failure/Fracture/Damage Model) [146] 等各种数值分析技术 这些数值 方法按其特点可大致分为连续变形分析方法和非连续变形分析方法两大类 其分别将 岩体介质抽象为连续介质模型 (或等效的连续体模型) 和离散体系统两类模型进行数 值分析 下面对各种方法的研究现状及最新进展进行综述 1.2.1 连续变形分析方法 这类方法主要包括 有限差分法 有限元法 边界元法 无限元法等 其重点在 于分析岩土介质的连续小变形 小位移特性 其中以有限元应用最为广泛 有限元在 连续性分析方面取得了很大的成功 但同时也遇到了一些本身不可克服的困难 例如 前处理困难 计算应力 应变解答不连续 难以进行任意路径开裂计算等 为了充分 考虑岩土介质的非连续性 非均匀性 多相性等特点 这些连续性方法 特别是有限 元方法 仍然在不断更新和发展之中 此外 以连续介质大变形分析为目的的拉格朗日元法在实际工程中也得到了较好 的应用 拉格朗日元法运用流体力学中跟踪质点运动的物质描述方法 即拉格朗日拖 带坐标系方法 利用差分格式 按显式时步积分方法进行迭代求解 根据构形的变化 不断更新坐标系 来模拟岩土介质的有限变形和大位移行为 该法在实用化方面 由 美国 ITASCA 咨询集团于 20 世纪 80 年代所发展的专用程序 FLAC (连续介质快速拉格 朗日分析 Fast Lagrangian Analysis of Continua) 已广泛应用于边坡 基础 坝体 隧道地下采场和洞室等岩土工程分析中[30] 这种方法可以同时考虑材料和几何非线性问题 适合于岩土力学中的大变形问题 并能够跟踪物体变形的全过程 但是在具体进行数值分析时 尽管避免了象有限元法 那样进行大型矩阵的复杂操作 然而时间步长选择的恰当与否变成了另外一个突出的 问题 时步过大会导致解答的不稳定 太小又会使计算时间过长 王泳嘉教授 栾茂 田教授等对这种方法的基本原理与具体应用进行了较为详细的介绍[30] 这里不再详述 2 第一章 绪论1.2.2 非连续变形分析方法 1.2.2.1 界面单元有限元法 (FEM with interface elements) 为了推广有限元方法 使其能够处理简单的非连续性问题 人们提出了各种能够 反映非连续性质的简单力学元件或特殊界面单元用于模拟单一非连续界面的力学行为 [21] 这类方法主要包括有 联结单元 (Linkage Element) (Ngo 和Scordelis 1967) 无厚度接触单元法或节理单元法(Joint Element) (Goodman 1968) 薄层单元法(Thin-Layer Element) (Desai 1982 1984) 接触 摩擦单元 (Contact-Friction Interface Element) (雷晓燕和 Swoboda 1994) 其中联结单元法与节理单元法是在性质差异悬殊 的两相邻单元间界面上设置法向与切向弹簧 一旦法向弹簧受拉则视界面发生分离 若切向相互作用力超过界面的极限强度则认为界面产生相对滑移 而薄层单元法假定 界面是由特殊介质所组成的厚度很薄 (约取为周边单元平均宽度的 0.01~0.1 倍) 的实 体单元 这种单元的本构性质取决于周边介质力学性态 由试验直接测取 通常认为 界面的法向性质与周围岩土材料相应特性相同 Desai 与Nagaraj(1988)对此曾提出采用 非线性方程来考虑法向应力 应变关系 关于切向响应特性 Desai 等研制了一套循环 直剪试验仪来测定界面剪力与相对滑移距离之间的依赖关系 并建议用多项式函数或 五参数 Ramberg-Osgood 模型加以描述 所谓接触 摩擦单元与接触单元的区别在于它 采用节点接触应力代替节点接触力 对于接触面的几何方面与静力学方面的约束条件 用附加条件纳入到系统方程中 从而能够通过计算自动满足接触界面的滑移 分离以 及粘结真实状态 这类方法将岩土介质视为准连续介质 仍以连续分析为主 但可以对个别具有控 制作用的宏观非连续面的变形与破坏等力学效应给予重点分析 在工程中得到了一定 应用 但由于下述自身的缺陷而受到了限制[21] 在处理复杂的非连续变形问题时显得 无能为力 例如 (1) 只能对原生的非连续界面进行计算 对次生的非连续界面无法处 理(2) 界面单元数目不能设置得太多 (3) 界面弹簧刚度的选取较为困难 1.2.2.2 刚体 – 弹簧模型或刚性有限元法 (RBSM 或RFEM) 这类模型将离散后的块体视为刚性的 块体之间用界面上法向与切向弹簧相联结 以块体形心处刚性位移为基本变量 用分片的刚体位移模式逼近实际整体位移场 以 块体间联结弹簧反映结构内部的弹性 并用界面应力表征结构内部的应力[46]~58] 如刚 体–弹簧模型 (RBSM)(Kawai 1977) 刚性有限元 (钱令希 张雄 1991) 分块刚 体位移 – 界面应力元法 (卓家寿等 1993) 块体 – 弹簧模型 (Wang Garga 1993) 在这类模型中 界面特性均假设服从于 Coulomb 摩擦定律 考虑体系的静力学约束条 3 大连理工大学博士学位论文 件比较充分 对于连续状态的应力分析往往可给出较高的计算精度 对于临界状态 (初 始失稳前) 能够用于估算出极限荷载 并可有效地用于少量块体界面间的摩擦接触分 析 但这类方法过分强调岩土体结构面的作用 而对于岩体的结构体的变形未给予足 够重视 虽然可以用于分析原生界面的破坏分析 但不能模拟实际岩体的破坏发展过 程 对于破坏发展导致的次生界面的非连续变形行为以及块体失稳后的运动过程也无 法进行模拟 1.2.2.3 基于块体理论的非连续变形分析方法 (Discontinuous Deformation Analysis Methods Based on Block Theory) 为了更好地模拟岩土材料的非连续变形行为 各国学者做出了卓有成效的工作 这类方法主要是以离散块体系统为研究对象 针对岩土体的非连续与非均匀性特点 将岩土体视为完全非连续介质 对构成离散系统的各个子块的变形 运动行为进行数 值仿真[59] 其中研究较多的且颇具代表性的方法有离散单元法 (Cundall 1971) 非连 续变形分析 (Shi 1989) 和流形方法 (Shi 1992) 离散单元法 (DEM Distinct Element Method) 是由美国 Cundall 等(1971)提出 它是以软弱结构面切割而成的离散块体为基本单元 其几何形状取决于岩土结构中非 连续面的空间位置及其产状 在块体间的接触约束下运用牛顿运动定律描述各块体的 运动过程 离散元法有动态松驰法和静态松驰法两种 目前离散单元法大都采用动态 松驰法 动态松驰法是把非线性静力学问题转化为动力学问题来求解 用显式中心差 分法来近似地对运动方程进行积分计算 并假设块体在运动时动能将转化为热能而耗 散掉 在计算中引入人工粘性阻尼以使系统达到平衡 运动趋于稳定 经过近 30 年的 发展 离散单元法已成为模拟岩土体非连续大变形的有效的数值方法之一 目前 二 维离散单元法趋于成熟 主要表现在商业化软件已经进行入实用化阶段 用于解决一 些工程问题 对于三维离散单元法 自1988 年Cundall 发表三维离散元的具体算法[66] 以来 发展速度也很快 国内刘连峰[64] 和焦玉勇[67] 两位学者的工作较有代表性 但是 由于三维问题算法的复杂性 特别是块体间接触判断算法的复杂性 二维离散单元法 向三维离散单元法的过渡大约花了将近 20 年的时间 而且目前还处于研究阶段 非连续变形分析 (DDA Discontinuous Deformation Analysis) 方法是继离散单元法 之后 从20 世纪 80 年代末以来发展起来的一种更新的模拟散体系统力学响应的数值 分析方法 1988 年石根华博士发表了其博士学位论文 Discontinuous deformation analysis a new numerical model for the static and dynamics of block systems [71] 标志 着DDA 方法的诞生 该方法得到国际认可 受到美国岩石力学权威 Cook Goodman Desai 和Zaman 等极力推崇 为了推广 DDA 方法 从1996 年起 每两年召开一次国 际非连续变形分析会议 以进行这一领域研究成果的及时交流 这一方法在其诞生后 4 第一章 绪论的10 余年时间里 发展速度非常快 非连续变形分析方法用隐式方程 它类似于有限 元 所不同的是它引进了运动方程 用最小势能原理把块体之间的接触问题和块体本 身的变形问题统一到矩阵的求解 理论严密 精度较高 而且把静力和动力 正分析 和反分析统一起来 不仅可以计算破坏前的小位移 也可以计算破坏后的大位移 对 滑动 崩塌 爆炸及贯入等问题十分有效 是不同于 DEM 的新的数值计算方法 鉴于 DDA 是一种 DEM 之后新兴的非连续变形分析的方法 下面对其在近几年的 进展进行详细介绍 近几年 DDA 发展较快 但综观有关文献主要集中于三个方面 (1) 接触算法改 进(2) 加入块断裂力学 考虑块体破裂 (3) 精化计算块内场函数值 考虑块体本身 的变形 石根华 (1988) 最早用罚函数法来处理非连续面上的接触问题 罚函数法用于处理 块体间的无侵入接触的主要优点是 (1) 罚弹簧的加入不会增加总体方程数目 (2) 总 体方程仍为对称正定 (3) 当罚弹簧刚度系数选取适当 可有效地保证块体间的正确接 触状态 但是文献计算表明 DDA 采用罚函数法会导致以下一些问题 (1) 接触问题解的精度高度依赖于罚弹簧刚度系数的选取 罚值选取不当会导致块 体间的侵入 (2) 罚函数法仅是使接触条件得到近似满足 (3) 罚函数法无法求得正确的接触力 而接触力的计算对于工程问题的分析有时显 得比块体的运动状态的描述更有实际意义 Lin (1994 1995)[72] 最早应用扩展 Lagrange 乘子法 (ALM: Augmented Lagrange Multiplier Method)来代替罚函数法进行接触处理 其具体思想如下 首先构造扩展 Lagrange 乘子格式 pd k k + = + * * 1 λ λ (1-1) 其中 为Lagrange 乘子 λ p 为在迭代开始时任意给定的罚数 d 为块体间的侵入距离 如图 1-1 所示 Block j Block i d 图1-1 两块体间的接触关系图 Fig.1-1 Contact between two blocks 5 大连理工大学博士学位论文 通过迭代计算 直至侵入距离 小于某一允许值为止 d 此时的 Lagrange 乘子 即 为块体间的接触力 λ 该法的优点是在迭代开始时可给定任意大小的罚数 p 理论上 无论 值如何给定 p 通过迭代计算 侵入距离 总能小于一允许值 d 从而使块体间的 接触关系得到精确满足 Lagrange 乘子在迭代过程中将收敛于真实的接触力 由于采 用了迭代格式 因此这种扩展 Lagrange 乘子法并不增加总体方程的数目 总体方程仍 保持对称正定 Lin 的工作主要是针对法向接触力进行了扩展 Lagrange 乘子迭代计算 而对于切向接触力的迭代计算格式没有给出明确的算法 后来 为了更准确地求解块体系统的接触力 我国学者蔡永恩 (1996 1998)[74] 采用Lagrange 乘子法和分区解法 在石根华 (1988) 的DDA 的基础上提出了 Lagrange 非连续变形分析方法(LDDA Lagrangian Discontinuous Deformation Analysis) 栾茂田 黎勇(1999)[76] 提出基于接触力元的非连续变形分析方法 这些方法的特点是将接触力 或接触界面的流动距离作为未知参数 纳入总体方程进行求解, 从而得到接触界面上的 真实接触力 这些方法的特点是可以较准确地得到接触界面上的接触应力 而且界面 的物理与几何约束关系也考虑得比较充分 但由于接触力或流动距离等参量增加了总 体方程个数 增加了总体方程求解的计算量 当考虑的块体较多时 这种情况会更为 严重 这些方法的总体方程一般不对称 在石根华 (1988) 的DDA 中 没有考虑块体本身的破裂问题 而在实际岩体工程 中 岩体中裂纹的扩展以及块体在受力过程中的破坏必须加以考虑 Ke (1993)[78] 为了计算块体内的各种应力状态以及模拟完整块体中裂纹的扩展 发 展了基于人工节理的非连续变形分析方法 (Artificial Joint-Based DDA) 人工节理的概 念主要包括两方面 一方面 Ke 称之为切割(Cutting) 另一方面 Ke 称之为粘结 (Pactching) 切割的过程是在 DDA 中的块体内加入人工节理 将DDA 中的块体按照 某种节理模式分割成若干子块的集合 粘结的过程是为人工节理赋于一定的强度 使 得子块能够粘在一起 当赋于人工节理的强度为无限大时 则块体为完整块体 人工 节理两侧的子块应不会分开 但由于块体被切割成若干子块的集合 因此块体内的应 力状态能够更精确地被计算出来 当赋于人工节理的强度为有限强度时 则当子块间 的接触力超过人工节理的强度时 人工节理便会破坏 这样块体便沿人工节理发生开 裂 从而模拟了块体的破坏 Gebra (1994)[79] 则主要研究了块体在瞬间碰撞条件下的块体的破裂算法 Gebara 选取了 Voromoi 构造方法来确定在瞬态冲击载荷作用下块体的破碎模式 当块发生破 碎时 在块内分布 N 个泊松点 将块体分成随机形状的子块集 每一子块赋于一初始 速率 然后进行下一时步的 DDA 分析 撞击和进一步破碎 这种块体的破裂不考虑块 6 第一章 绪论体内的裂纹对块体破坏的控制作用 而是基于计算机图形学理论 给出一种统计意义 上的破碎模式来模拟块体的破碎 这种方法主要用于瞬态冲击荷载作用下块体的破碎 Lin (1995)[73] 在其博士学位论文中发展了一种块体破裂算法 可考虑块体发生剪切 破坏或拉伸破坏 这一改进使得 DDA 可进行断裂扩展问题的分析 值得一提的是 Lin 采用了三参数 Mohr-Coulomb 破坏准则 其中三个参数分别为 0 0 , , T S ? 其中 为块体材料的抗剪强度 0 S ? 为块体材料内摩擦角 0 T 表示块体材料 的抗拉强度 破坏准则如图 1-2 所示 1 σ 3 σ 1 σ 3 σ 1 σ 3 σ 2 4 ? π ? 0 T 0 C ? C 3 σ 3 1 σ σ = 图1-2 主应力空间中的三参数 Mohr-Coulomb 破坏准则 Fig.1-2 Three parameter Mohr-Coulomb criterion in ( , ) space 1 σ 3 σ 在图 1-2 中3C σ 为发生剪切破坏与拉伸破坏时最小主应力的临界值 由下式计算 ? ? ? ? ? ? + + ? = 2 4 π tan2 0 0 3C ? σ T C (1-2) 其中 ? ? ? ? ? ? + = 2 4 π tan 2 0 0 ? S C (1-3) 为块体材料的单轴抗压强度 按照 Mohr-Coulomb 破坏准则 剪切破坏判据为 3C 3 σ σ < (1-4) 7 大连理工大学博士学位论文 其中 ? ? ? ? ? ? + + ? = 2 4 π tan2 1 0 3 ? σ σ C (1-5) 拉破坏判据为 0 1 T = σ (1-6) 由式(1-2)~(1-6)可以看出 为了进行块体本身的破坏判断 必须准确地计算块体内 的应力状态 在石根华 (1988) 的DDA 中块体为常应变 因此无法用上述判据进行破 坏分析 为此 Lin (1995) 采取了与 Ke (1993) 一样的方法 即将块体分为若干子块的 集合 在子块间用一刚度较大的弹簧进行约束 以使之相互粘结在一起 从而使得更 精确地计算出块体内的应力状态 Lin (1995) 应用这一破坏准则以及将块体划分成子 块的方法研究了块体的破坏以及块体系统在破裂过程中的能量守恒问题 这种方法在 DDA 块体的破坏分析中得到了应用 由于石根华 (1988) 的DDA 中 块体内的位移模式为一阶多项式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 2 ) ( 0 ) ( 0 1 0 0 2 ) ( 0 ) ( 0 1 a a a a a a y y x x y y x x v u (1-7) 因此块体位移模式为线性模式 块体应变为常应变 当块体本身的变形较为复杂或为 了进行块体破坏分析等方面的研究时 需精确地计算出块体内的应力状态 因此最近 几年 许多学者提出了各种精化计算块体内场函数值方法 这些方法大致可分为以下 三大类 (1) 将块体划分为若干子块的集合 (2) 块体内细分网格的方法 (3) 采用高 阶位移插值函数 Lin (1995)[73] 和Ke (1993)[80] 在原 DDA 中增加裂纹扩展功能的工作主要采用了在块 体内划分子块的方法 这种方法是将块体的变形用更细的子块的变形来描述 以达到 提高块体变形及应力场计算精度的目的 这种方法的优点是实施简单 但由在子块体 内仍为常应变状态 因此理论上讲只有当子块划分的足够密时 块体内的位移及应力 才可趋于精确解 块体内细分网格的一般做法是在块体内再划分有限元网格 将DDA 与FEM 相耦 合Shyu (1993)[82] 提出了节点 DDA 的思想 这种方法是通过在块体内增加有限元网格 的方法从而达到精化计算块体内位移场及应力的目的 8 第一章 绪论后来 Koo (1996)[83] 和Ma (1996)[84] 分别采用了三阶多项式作为块体的位移模式近 似????????????????????????=??????19 3 1 0 3 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a a a a y y x y y x v u M L L (1-8) 从而更准确地计算出了块体内的位移及应力状态 由于通过提高块体本身位移模式的 阶次来提高块体变形计算精度的方法 在理论基础上与石根华 (1988) 的DDA 一致 因此应用较广 但是这类方法存在的一个问题是 当块体变形能力提高后 变形后的 块体将出现曲线边界 这样在原来以线性变形为基础的接触处理方法需作相应的处理 如对于一条直线边 可用两个接触点来描述其接触状态 但对于一条曲线边 两对接 触点就不能很准确地描述块体边界上的接触状态 直到最近 有关这方面的研究还很 少 另外 在块体系统变形过程中 块体间的碰撞是经常发生的现象 在石根华 (1988) 的DDA 中没有考虑块体碰撞过程中的能量损失 因此有时会导致块体回弹变形偏大 甚至发生错误 裴觉民 (1996)[85] Chen (1996)[86] 初步研究了块体变形破坏过程中的能 量损失问题 同时裴觉民指出 应通过物理学 热力学知识来建立物体间碰撞过程中 的能量损失定量计算公式 在石根华 (1988) 的DDA 中 当块体转动角 很小时 θ 由于采用了小转角假定 即θθ=sin 1 cos = θ (1-9) 当块体发生较大转动时 会产生一系列问题 如块体形状由于转动发生膨胀变形 由 于旋转引起局部坐标系的旋转 从而使得计算的应力场 应变速度场以及位移场发生 扭曲等 Chen (1996) [86] Ke (1996)以及 MacLauhlin (1996) [87] 分别对 DDA 中块体的刚 体转动问题进行了研究 改正了原 DDA 中的小转角假设 以上是 DDA 方法在近几年的一些进展的综述 关于其最新进展 将反映在于 2001 年英国召开的新一届国际非连续变形分析会议论文集中 所有这些对 DDA 的改进 都使得 DDA 更加适合于岩体变形的计算分析 由于 DDA 在运动学约束方面比较充分 理论上比较严密 且静力 动力分析采用了统一的 数值计算格式 因此在结构 岩体或土体的非连续大变形力学过程 (如破损 失稳 极限分析) 模拟方面具有一定的潜力 9 大连理工大学博士学位论文 1.2.2.4 流形方法 (MM: Manifold Method) 在以上讨论的这些方法中 有限元等方法将岩体理想化为完全连续介质 离散单 元法等又将岩体抽象为完全非连续介质—离散介质 这其实是走向了问题的两个极端 将连续变形与非连续变形统一起来的方法将更适合实际岩体变形的分析 因此 近几 年 另一种更新颖的数值方法 – 流形方法引起学者们的兴趣[92] 流形方法是石根华 (1992) 应用流形的覆盖技术建立的一种把有限元法 非连续变 形分析方法和解析方法包含在内的全新的统一计算方法 由于流形方法可在统一的理 论框架下处理连续与非连续变形的计算分析问题而引起了许多学者的兴趣 成为目前 计算岩土力学中的热门话题 在国内 王水林 (1998) 等学者对流形方法作了较为系统的研究 关于流形方法的 基本原理 最新进展将在稍后的章节中作更为详尽的叙述 流形方法的优点很明显 即它具有相对完善的非连续变形处理的功能 可以在统 一的数学理论框架下同时处理连续问题与非连续问题 较之于有限元方法更适合于开 裂模拟 但由于受网格连接与单元划分的限制 流形方法在开裂计算上仍较为困难 1.2.2.5 无单元类方法 (Element-Free/Meshless/Gridless Methods) 对于岩体这种介于连续与完全非连续介质之间的材料 沟通连续变形与完全散体 的非连续变形的桥梁是岩体中的地质非连续面的扩展 贯通等的破坏行为 它是联接 岩体变形过程中初始阶段与终了阶段的一条纽带 在整个岩体变形全过程中 这些非 连续面的变形 扩展以及失稳对整个工程岩体结构的稳定性是至关重要的 如在国家 九五 科技攻关项目中一个重要的课题就是高拱坝的开裂稳定性分析 而现有的基 于网格划分的方法 由于均是基于单元离散的思想 在分析裂纹扩展时 都遇到了以 下两方面的困难 (1) 网格重新划分的困难 (2) 裂纹扩展结果非常严重地受到网格划 分形式的影响 自20 世纪 70 年代起 国内外许多学者致力于探索一类不需要生成网格或单元 仅用一系列点对求解域进行离散的数值方法 (Element-Free/Gridless/Meshless Methods) [105] 这类无网格方法摆脱了单元的限制 较之于有网格的方法更适合于裂纹的开裂计 算分析 下面对无网格类方法的发展历史作一简短的回顾 作为对传统有限差分方法的改进 Perrone Kao (1975) [105] 最早采用任意网格 (Arbitrary Meshes)技术将传统有限差分法进行扩展 提出广义有限差分法 (the General Finite Difference Method) 接着 Liszka Orkisz (1980)[106] 进一步应用 任意不规则网格 (Arbitrary Irregular Grids) 的有限差分方法进行了应用力学课题的计算分析 在此基础 上Liszka (1984) [107] 提出了一种任意点集上的插值构造方法 这可看作是无网格技术 10 第一章 绪论的最初萌芽 在Lucy (1977)[108] Gingold 和Moraghan (1977 1988)[109] 以及 Moraghan (1995) [110] 等学者的工作中提出了仅用一系列散点或质点进行计算分析的 光滑质点流体动力学 (SPH Smooth Particle Hydrodynamics) 方法 Swegle Hicks 和Attaway (1995)[111] 发现SPH 方法中存在张拉不稳定性 Tensile Instability 并提出了一种稳定化方法 在SPH 方法中 引入了节点的星 (Star) 的概念 应用每一个星所包含的节点个数及位置 信息 通过星中心点处的局部泰勒展式来构造星的局部近似场函数 这一方被广泛应 用于计算物理以及天体物理领域的星球运动及星球间碰撞的模拟 在讨论无网格方法 的发展历史时 人们常常把 SPH 作为无网格技术的最初成功应用 后来 Lancaster 和Salkaushas (1981)[112] 在研究曲面插值时 通过引入了滑动最小 二乘插值 (MLSA Moving Least Square Approximations) 的思想以及具有奇异性的权 函数 将标准最小二乘插值进行推广 提出了滑动最小二乘法 (MLSM Moving Least Square Method) 滑动最小二乘法可用一系列散点构造出在全定义域上光滑的 而不是 局部光滑的总体近似函数 但是直到进入九十年代 滑动最小二乘方法才被应用于边值问题的求解 Nayroles (1992(法)) 等[113] 将滑动最小二乘法运用于边值问题求解 提出扩散单元法 (DEM Diffuse Element Method) 扩散单元方法仅用节点和边界描述对 Galerkin 方程进行离散 求解 通过加权最小二乘 (WLS Weighted Least-Squares) 方法对节点值进行拟合 得 到插值函数多项式 Belytschko 等(1994)[114] 在Lancaster 和Nayroles 等人工作的基础 上进一步导出被 DEM 忽略掉了的插值函数的导数形式 并提出了基于滑动最小二乘法 的无单元伽辽金法 (EFGM Element Free Galerkin Methods) 无单元 Galerkin 法在其 诞生后的短短几年中得到了迅猛发展 Belytschko (1999)[115] 对近年来 EFGM 的最新发 展做了报道 在国内 冠晓东 周维垣 (1998)[115] 庞作会 葛修润 (1999)[117] 等学者 对这种方法进行了引入 改进和推广研究 至此 可以认为是无网格方法的真正诞生 DEM 和EFGM 可认为是这一新兴数值方法的典型代表 其中 EFGM 应用较为广泛 无论是 DEM 还是 EFGM 都不需要有限差分网格或有限单元网格 而且如果权函 数及其导数连续 则解及其导数亦连续 无需网格 高阶连续的近似解是这些方法较 之于传统有限单元法的突出优点 以建立更准确有效的无网格插值函数构造方法为目的 Liu 等(1995)[119]] 基于 Reproducing Kernel 及小波变换理论提出了另外一种无网格方法 – RKPM Reproducing Kernel Particle Method RKPM 通过应用移动积分窗口的技术建立了一种新的形函数形 式 窗口函数可以在求解域上移动和胀缩 从而以另外一种形式达到无需单元以及网 格细化的目的 Duarte 和Oden (1995)[123] Oden 和Duarte (1998) [124] 提出的基于云团概念的 hp 11 大连理工大学博士学位论文 型有限单元法(Cloud-based hp Finite Element Method)以及 Babuska 和Melenk(1997)[125] 提出的单位分解方法 (PUM Partition of Unity Method)可以认为是无网格方法的另一研 究分支 这两种方法的基本思想均是应用具有单位分解的形函数将局部定义的近似解 相互联接 从而构造出总体场函数的近似解 其它的无网格方法还有如 Particle In Cell (PIC)法[128] 有限点法[129] 等 为了消除 DEM 及EFGM 中的用于数值积分目的积分网格或辅助网格 实现真正 意义上的无网格方法 边界元的创始人 Atluti 及共合作者 Zhu (1998)[131] 在LBIE 的基 础上 采用微分方程的局部对称弱形式 (LSWF Local Symmetric Weak Form) 运用滑 动最小二乘法构造局部子域上的试函数 采用属于不同空间的试函数和权函数 把在 全求解域上的 Galerkin 方程简化为在各子域上的局部 Galerkin 方程进行求解 从而导 出了即不用有限差分或有限单元网格 也不用全求解域上的积分网格或辅助网格的一 种新的无网格方法 由于在这种 Galerkin 方法在局部对称弱形式中 采用了属于不同 空间的试函数和权函数 因此被命名为 局部伽辽金无网格(MLPG Meshless Local Petrov-Galerkin)方法 这一方法可看作是一种特殊形式的子域法 该法与 DEM 及EFGM 的主要差别在于采用了局部对称弱积分形式 使得数值积分在子域上完成 而 不再象 DEM 或EFGM 那样在全求解域上布置用于积分目的积分网格或辅助网格在整 个求解域上进行数值积分 但是 Atluti 虽然未明确说明 该法在子域上的数值积分仍 需要一些积分网格 另外这种方法导出的总体方程为非对称矩阵 为更准确地求解非线性问题 Zhu Zhang 和Arluri (1988)[132] 建立了在规则局部子 域上的局部边界积分方程 (LBIE Local Boundary Integral Equation) 运用滑动最小二 乘法构造局部子域上的插值函数 提出了局部边界积分方程无网格 (LBIE Meshless Local Boundary Integral Equation) 方法 LBIE 方法的主要问题是子域上边界积分为奇 性积分以及导出的总体方程为非对称矩阵 需作一些特殊处理 以上这些无网格类方法 由于其具有无需有限单元网格 前后处理简单 以及较 传统有限单元法更适合于断裂问题的计算分析等的优点 因而受到了学术界的广泛关 注 无单元类方法在进行裂纹扩展的模拟时 不再陷入传统有限元方法需要重新剖分 网格的困难 代之为仅仅在裂尖局部区域内布置节点 大大简化了前处理 使得无单 元方法较之传统有限元方法在剖分策略上更适合于断裂问题的计算分析 但是对于以 EFGM 为代表的无单元类方法 现有大量的研究成果大都集中于裂纹 扩展模拟方面 如何将无单元方法应用于岩土力学的数值计算仍存在许多问题 如非 连续材料插值函数的构造问题 摩擦接触问题以及多体相互作用问题等的处理等都需 作进一步深入研究 12 第一章 绪论1.2.2.6 耦合方法(Couple Methods) 除了上述各种数值方法与模型之外 耦合的方法也得到了发展与应用[133]~[137] 如 有限元与边界元的偶合 有限元与离散元的耦合 离散元与边界元耦合等等 这些耦 合方法可发挥各种方法各自的优点 以上简单地叙述了计算岩土力学领域内颇具代表性的几种数值方法 所有这些数 值方法中 以有限元为代表的连续性分析方法在实际岩土工程中应用较为广泛 特别 是对于岩体比较完整或者节理裂隙密集且符合统计规律但又不贯通的岩体更是如是 但从学科发展来看 在普遍意义上更符合实际岩体变形特点的非连续变形分析方法将 具有广阔的发展空间 上述的岩土力学数值方法的发展过程也昭示了这种趋势 特别 是连续性分析 开裂以及非连续性分析的统一问题长期没有得到很好地解决 在这一 方面有待于作进一步深入的理论研究 1.2.2.7 渐进破坏模型 (Progressive Fracture Models) 近年来 一些学者从细观力学的角度 利用扫描电镜对岩石的细观时效损伤特性 和损伤力学行为 包括岩石的细观组构 初始细观损伤特性 单调拉伸和压缩加载条 件下岩石的强度 变形及其细观破坏特性 以及细观条件下岩石的时效损伤发展及其 蠕变特性与破坏形态分析等等 进行了大量的细观试验分析 (孙钧 1996)[6] 这些研 究成果受到国内外学者的相当重视 (张梅英 袁建新 1998)[144] 岩石细观损伤演化的实验[138] 表明 岩石断裂破坏的实质是岩石在受力过程中微裂 纹的萌生 扩展直至贯通的结果 是岩石微观结构变形破坏的累积的宏观反映 而现 有的各种数值计算方法 仍然只能处理连续介质力学问题 即使一些非连续介质力学 方法 (如DEM DDA) 也难以考虑岩石从细观破裂到宏观破坏的过程 对岩石介质而 言 模拟基于细观分析的岩石宏观变形 损伤直至破坏和失稳过程 研究地基与滑坡 地震 岩爆等非稳定现象有关的数值计算方法仍然是一个难题 (唐春安 1997)[15] 渐近破坏模型是通过材料微结构的演化与变形局部化行为的研究 对材料在变形 损伤与破坏时所产生的本质现象与因果关系进行模拟的方法[146]~[158] 与已有各种数值 计算 方法不同 它注重材料的细观断裂机理与断裂规律的研究 侧重对事物内在 机理的 模拟 渐进破坏模型主要是在对复合材料以及岩石等脆性材料的破坏研究时 提出的 这类方法一般包括两个方面 应力分析和破坏分析 应力分析可以用解析法 和有限元法 破坏分析是根据一定的破坏准则 来检查材料结构中是否有单元破坏 对于岩石等脆性材料而言 东北大学岩石破裂与失稳研究中心研制开发出了相应的岩 石渐进破坏分析软件 RFPA(Rock Fracture Progressive Analysis) RFPA 软件通过考虑材 料的非均匀性来模拟材料的非线性 通过单元的弱化来模拟材料变形 破坏的非连续 13 大连理工大学博士学位论文 行为 该法用于对裂纹扩展 岩层移动 震源孕育模式及微震活动性 复合材料破坏 等方法数值模拟 取得了良好的效果[154] 唐春安及其合作者的工作为岩石等材料的细观破坏机理的数值模拟研究提供了很 好的思路 即对于岩石类性质极其复杂的非均匀材料而言 不一定一味追求数学上的 高度精确的描述 而可以代之以用一种数学上相对简单的 但却能充分反映材料性质 复杂性的分析计算方法来达到的材料破坏细观过程模拟的目的 1.3 论文的研究目的 从客观上讲 岩体介于连续介质与非连续介质之间 因此有人称之为 断续介质 实际工程中岩土体的变形破坏过程一般是一个从小变形积累 损伤演化 宏观裂纹形 成与扩展 断裂贯通 直至发生散体的刚体运动等大变形 大位移的一系列复杂的渐 进变形与破坏过程 作为 断续 介质 岩体中地质非连续面的破坏发展是其变形的 主要特点 是岩体从连续变形向完全非连续变形过渡的必经之路 流形方法解决了在数学上对连续与非连续材料域总体近似函数统一构造的问题 从而使得连续变形与非连续变形问题的统一分析成为可能 现有流形方法具有可进行 连续分析 完全非连续形问题以及带有裂缝等非连续界面的张开 滑移分析的能力 但由于仍沿用传统有限元方法单元连接的方法 在开裂计算以及渐近破坏分析方面仍 具有相当的局限性 以无单元 Galerkin 法(EFGM) 为代表的无单元类方法为成功解决 前处理与裂纹扩展问题提供了一条有效可行的途径 但无单元方法在非连续变形分析 方面 如多体的相互作用 接触分析等方面 远没有流形方法以及其它非连续变形分 析方法成熟 因此流形方法与无单元方法之间具有很强的互补性 如果能够将流形方 法在处理连续与非连续性问题方面的优点与无单元方法在前处理简单以及插值精度高 等的优点相结合 则可实现在统一理论框架下 处理结构与材料的连续变形 裂纹的 失稳扩展及结构开裂 非连续界面接触以及多体间相互作用等一系列复杂问题 在当前交通 国防 采矿 水工建筑设计理论中 涉及应力集中区 拉应力区导 致开裂的工程问题及建筑物的稳定问题 至今还处于探索研究 经验与分析阶段 如 拱坝有限元设计 大坝坝踵应力开裂 坝肩稳定问题 重力坝抗滑稳定 土坝滑坡的 问题多属于非线性问题 这些问题的研究进展将有助于提高水工设计的水平 在这些 工程问题中 裂纹问题多属于宏观裂纹的扩展问题 因此研究单一裂纹的稳定性与预 测其扩展路径具有重要的实际意义 无单元 Galerkin 法在追踪裂纹扩展方面取得了很 大的成功 但该法存在的最大困难在于在裂纹附近插值时 插值子域即影响圆的形状 受裂纹分布形态影响非常严重 有时导致插值失败或精度无法保证 因此研究无单元 14 第一章 绪论方法对于单一宏观裂纹的高精度计算也是很有必要的 另外 裂纹萌生 扩展 贯通等问题作为岩体破坏分析的关键问题之一 长期以 来并没有得到成功解决 而这些问题对于从细观上揭示岩体的破坏机理 裂隙分布对 岩体破坏形态的影响等等都具有非常重要的意义 因此研究节理裂隙岩体破坏全过程 的数值模拟也是本文的目的之一 1.4 论文的研究思路 本论文的研究思路如图 1-3 所示 从流形方法和无单元 Gakerkin 法的研究入手 提取两种方法的核心内容 有限覆盖思想与无网格插值技术 进一步发展了有限圆覆 盖技术与多重权滑动最小二乘法 从而形成有限覆盖无单元方法 进一步 将有限覆 盖无单元方法分别扩展应用于摩擦接触问题的处理 宏观裂纹扩展模拟以及节理 裂 隙岩体的损伤断裂演化模拟三大方面 同时 通过将有限覆盖思想与传统有限元方法 相结合 对传统有限元方法进行改进 发展了广义节点有限元法 1.5 论文的主要工作 围绕上述目标 结合栾茂田教授的国家教育部跨世纪优秀人才基金项目 非连续 变形分析及非线性海床动力学及其应用研究 主要开展了如下方面的研究工作 (1) 发展了高阶流形方法 对流形方法的基本思想进行深入研究 探讨了高阶覆盖函 数流形方法原理及数值实现过程 推导出全一阶多项式覆盖函数流形方法与全二 阶多项式覆盖函数流形方法的单元刚度阵解析表达式 在统一的格式下编制了零 阶覆盖函数 (即现有流形方法) 全一阶多项式覆盖函数以及全二阶多项式覆盖函 数的流形方法计算程序 应用程序进行了实例分析 最后指出 对于同一个问题 而言 在相同节点与单元数目前提下 高阶流形方法的计算精度明显要高于现有 流形方法 (2) 提出有限覆盖无单元方法 将流形方法的有限覆盖思想与无单元 Galerkin 法的无 单元技术有机结合 提出并发展了 有限覆盖无单元方法 (FCEFM Finite-Cover Element-Free Method) 该法以圆形数学覆盖的流形方法为基础 通过引入多重权 滑动最小二乘 (MWMLS Multiple Weighted Moving Least Square) 插值构造方法 解决了圆形数学覆盖流形方法插值构造的难题 从而将连续变形 开裂计算 非 连续变形三个环节有机地统一起来 使得该法在理论上完全具备了渐近变形 开 裂扩展模拟与破坏发展分析的能力 数值算例计算证明了该法的合理性与可行性 15 大连理工大学博士学位论文 FEM 渐进破坏分析的有限覆盖无单元方法 FCEFM for Progressive Failure Analysis 宏观裂纹扩展模拟的有限覆盖无单元方法 FCEFM for Crack Propagation Simulation 岩土工程摩擦接触问题处理的有限覆盖无单元方法 FCEFM for Contact Problems in Geotechnical Engineering 广义节点有限元法Generalized-Node Finite Element Method 多重权滑动最小二乘法 Multiple-Weighted Moving Least Square Method 无网格插值技术 Mesh-Free Technique EFGM 有限圆覆盖技术 Finite Circular Cover Technique 有限覆盖无单元方法 Finite-Cover Based Element-Free Method 有限覆盖思想 Finite-Cover Methodology MM及其高阶形式 MM and High Order MM study 图1-3 论文的研究思路 Fig.1-3 Study routines of the thesis (3) 发展可用于摩擦接触问题 多体相互作用问题分析的有限覆盖无单元方法 在无 单元理论框架下 详细讨论了扩展 Lagrange 乘子法的实现方法 给出了可用于弱 16 第一章 绪论拉型材料界面接触的扩展 Lagrange 乘子法迭代计算格式与具体算法 将其应用于 有限覆盖无单元方法 进而发展了可用于接触处理 多体相互作用的有限元覆盖 无单元方法 最后进行了实例分析 (4) 将有限覆盖无单元方法应用于裂纹的扩展 贯通等问题的数值模拟 基于任意小 步长扩展技术和裂尖能量释放过程 发展了用于宏观裂纹扩展模拟的有限覆盖无 单元方法 并进行了拉剪 压剪等各种复杂应力下的单一裂纹 多裂纹的扩展 贯通 相互影响 以及岩桥的破坏等问题的数值模拟 (5) 发展了可用于节理 裂隙岩体的损伤断裂扩展与准脆性材料的损伤演化模拟的有 限覆盖无单元方法 基于损伤力学与破坏统计理论 进一步将有限覆盖无单元方 法应用于节理 裂隙岩体的损伤断裂全过程数值模拟和准脆性材料损伤演化的数 值模拟 该法可实现对岩石 混凝土等准脆性材料在各种复杂应力下的数值试验 (6) 作为有限覆盖思想的进一步推广应用 提出并发展了三角形单元 四边形单元的 广义节点有限单元法 研究表明 广义节点有限单元法不仅有效地提高了传统有 限单元法的位移计算精度 而且更为重要的是 单元间的应力的光滑性得到了显 著改善 整个论文共分十章 为论文内容组织方便起见 将研究内容相近的章节进行归类 进而将整个论文划分了上篇 中篇和下篇三大部分 第二章自成一篇 即上篇 主要 以流形方法的研究为主 介绍了高阶流形方法的实现过程 并应用所开发的计算程序 进行了算例分析比较 这一章是整个论文研究的基础和出发点 因此将它放在了论文 较前的位置 并单独列为一篇 第三章至第六章为中篇 主要是关于有限覆盖无单元 方法的提出 基本原理及其应用等内容 这一篇是论文的主要内容 占据了论文大部 分的篇幅 下篇包括第七 八 九三章的内容 在这一篇中 作为有限覆盖思想的进 一步推广应用 主要介绍了所发展的广义节点有限元方法 各章的具体内容分别为 第一章 是关于岩土力学数值方法与最新进展 现有方 法各自的优 缺点以及计算岩土力学所面临的问题和解决思路的综述 第二章主要对 流形方法的核心思想进行了阐述 对高阶覆盖函数的流形方法进行了深入研究 第三 章介绍了有限覆盖无单元方法的提出 基本原理 第四章讨论了有限覆盖无单元方法 在处理接触 多体相互作用等方面的相关问题 第五章讨论了有限覆盖无单元方法基 于断裂力学理论对裂纹扩展问题的处理 第六章主要讨论了基于损伤力学的有限覆盖 无单元方法对节理裂隙岩体 岩石 混凝土等准脆性材料的损伤演化过程的数值模拟 第七章 第八章和第九章分别对广义节点有限单元法的基本原理 高阶形式以及广义 四节点等参元作了专门介绍 第十章是全部研究工作的一个总结与进一步工作的展望 17 大连理工大学博士学位论文 参考文献[1] 孙广忠著. 岩体结构力学. 北京 科学出版社 1988. 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