工科数学分析基础 工科数学分析基础 李换琴 西安交通大学理学院 hqlee@mail.xjtu.edu.cn 2/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 1 第三章 一元函数积分学及其应用 第三节 两种基本积分法 第四节 定积分的应用 第一节 定积分的概念 第二节 微积分的基本公式 第五节 反常积分 第六节 几类简单的微分方程 3/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 第六节 几类简单的微分方程 习题3.6 (A) 1(4)(5), 2(3) 3(3),4(2)(4)(6)(8) 引例 微分方程的基本概念 几类简单的微分方程 4/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.1 几个基本概念 例1.一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , x x y 2 d d = ① ∫ = x x y d 2 C x + = 2 . 1 2 (C为任意常数) 由②得C=1, + = x y 因此所求曲线方程为 2 1 = = x y ② 由①得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 一、引例 则有如下关系式: 5/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例2. 列车在平直路上以 s m 20 的速度行驶, 制动时 获得加速度 , s m 4 . 0 2 ? = a 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知 求制动后列车的运动规律. 4 . 0 d d 2 2 ? = t s , 0 0 = = t s 20 0 d d = = t t s 2 1 2 2 . 0 C t C t s 由前一式两次积分, 可得 + + ? = 利用后两式可得 0 , 20 2 1 = = C C 因此所求运动规律为 t t s 20 2 . 0 2 + ? = 思考: 制动后多少时间列车才能停住 ? 制动后行驶了多少路程 ? 即求 s = s (t) . 6/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 0 ) , , , , ( ) ( = ′ n y y y x F L ) , , , , ( ) 1 ( ) ( ? ′ = n n y y y x f y L ( n 阶显式微分方程) 二、微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或7/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 , 0 0 = = t s 20 0 = = t dt ds 引例2 4 . 0 2 2 ? = dx y d — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ) 1 ( 0 0 ) 1 ( 0 0 0 0 ) ( , , ) ( , ) ( ? ? = ′ = ′ = n n y x y y x y y x y L n 阶方程的初始条件(或初值条件): — 确定通解中任意常数的条件. 的阶数相同. 特解 x dx dy 2 = 2 1 = = x y 引例1 C x y + = 2 2 1 2 2 . 0 C t C t s + + ? = 通解: t t s 20 2 . 0 2 + ? = 1 2 + = x y 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 特解: 其图形称为积分曲线. 8/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.2 可分类变量的一阶微分方程 形式: 求解方法: 变量分离 ( ) 0 ≠ y g ( ) ( )dx x f y g dy = ( ) ( ) y g x f dx dy = ( ) ( )连续,且 假设 y g x f , ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )的解 是方程 设1xyy=()()[]()dx x f x y g dx x y = ′ 两端积分 ( ) x y y = 令()()Cdx x f y g dy + = ∫ ∫ c ( ) ( ) C x F y G + = ( ) ? ( ) )的通解, 是方程(1 ? ( ) , 0 0 0 = = y g y y 使 若存在 也是原方程的解 直接验证可知 0 y y = 隐式解 9/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例3 求方程 y y x y ′ = ? 2 2 3 1 的通解. 解2231xdx y ydy = ? ( ) 1 ± ≠ y C x dx y ydy + = ? ∫ ∫ 2 2 3 1 C x y + ? = ? ? 3 1 1 2 也是原方程的解. 直接验证可知 1 ± = y ? ? 为通解 10/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.3 一阶线性微分方程 一般形式: ( ) ( ) x Q y x P y = + ′ ( ) 0 = + ′ y x P y 线性齐次方程 线性非齐次方程 ( ) 1 ( ) 2 ( )dx x P y dy ? = ( ) 1 ln C dx x P y + ? = ∫ ( ) ∫ = ? dx x P Ce y 齐次方程 ( ) 0 = + ′ y x P y 的求解 所以线性齐次方程 ( ) 0 = + ′ y x P y 的通解为 11/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 ( ) ∫ = ? dx x P Ce y ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ + ∫ ? dx x P dx x P e x Q e 非齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 = + ( ) ( )的通解 求xQyxPy=+′(), x h C = 令()()为非齐次方程的解 设∫=?dx x P e x h y ( ) x h y ′ = ′ 则()()()xQexhdx x P = ∫ ′ ? ( ) ( ) ( ) ] [ C e x Q e y dx x P dx x P + ∫ ∫ = ∫ ? ( ) ( ) ( ) C e x Q x h dx x P + ∫ = ∫ 即 通解 代入非齐次方程,得把yy′,()()()y x P e x h dx x P ? ∫ ′ = ? (常数变易法) 即()∫?dx x P e ( ) ( ) [ ] x P e dx x P ? ∫ ? ) (x h + 12/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例7 求方程 x y dx dy = + 的通解. 解法1 先求齐次的通解 o 1 0 = + y dx dy dx y dy ? = ? 常数变易法 o 2 ( ) 代入方程 设,xexhy?=()xxe x h = ′ ? 原方程的通解为 ∴ 1 ? + = ? x Ce y x x e x h x = ′ ? ) ( 有xCeey?±=?11ln C x y + ? = ? x Ce y ? = ? ( ) x x e x h e x h y ? ? ? ′ = ′ ) ( x y + ? = ( ) C e xe x h x x + ? = ? 解法2 直接代公式 原方程的通解为 ∫ + ∫ ∫ = ? ] [ C dx xe e y dx dx ∫ + = ? ] [ C dx xe e x x 1 ? + = ? x Ce x 13/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例8 求方程 y y x y = ′ + ) ( 2 的通解. 分析: y x y dy dx = ? 1 原方程可化为 解xyydx dy + = 2 y y x dy dx + = ? 为 由公式,原方程的通解 ∫ + ∫ ∫ = ? ? ? ] [ ) 1 ( ) 1 ( C dy ye e x dy y dy y ∫ + = ] 1 [ C dy y y y Cy y + = 2 14/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.4 可用变量代换法求解的一阶微分方程 1.一阶齐次微分方程 ? ? ? ? ? ? = x y f dx dy 形如 , x y u = 令,dx du x u dx dy + = ( ) u f dx du x u = + ( ) dx u u f xdu ] [ ? = , xu y = 则 (变量可分类方程) 15/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 2 2 y x xy dx dy ? = ( )2 / 1 / x y x y dx dy ? = 2 1 u u ? = dx du x u + 例5 解方程 , x y u = 令解xdx du u u = ? 3 2 1 C x u u ln ln ln 2 1 2 + = ? ? 2 2 1 ) ln( u Cux ? = 2 2 1 u e Cux ? = 2 2 2 . x y Cy e ? = 得 代入 把xyu=0.y=另外 也是解 2 2 2 y x Ce y ? = 通解可表示为 16/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 2、Bernoulli(贝努利)方程 ) ( ) ( ) ( 为常数 形如: α = + ′ α y x Q y x P y , 0时当=α)()(xQyxPy=+′,1时 当=αyxQyxPy)()(=+′.为一阶线性方程 . 为可分离变量方程 , 1 , 0 时当≠α)()(1xQyxPyy=+′??αα=′?)(1αyQyy′??α α) 1 ( : 1 代入 令vy=∴?α ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( x Q v x P v α α ? = ? + ′ . 一阶线性方程 17/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例9 求方程 的特解. 满足条件 1 0 2 0 2 = = ? + ′ = x y x xy y y 分析: 1 2 ? = + ′ xy xy y 原方程化为 x xu u u y 2 4 2 = + ′ = 令2122+=?xCe ) 1 ( 2 1 2 2 2 + = ? x e y ] 2 [ 4 4 C dx xe e u xdx xdx + ∫ ∫ = 解∫?原方程的特解为 ∴ 1 , 0 = = y x ? 2 1 = C ] 2 [ 2 2 2 2 C dx xe e x x + = ∫ ? ] 2 1 [ 2 2 2 2 C e e x x + = ? 通解为 贝努利方程 18/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例10 . 1 3 2 的通解 求解方程 y x xy dx dy + = 解23xyyx dy dx = ? 贝努利方程 ) , ( 为自变量 为函数 y x 1 ? = x v 令3yyv dy dv ? = + 得:通解为 ∫ + ∫ ? ∫ = ? ] [ 3 C dy e y e v ydy ydy . 2 2 2 1 2 y Ce y ? + = ? . 2 1 2 2 1 2 y Ce x y ? + = ? 所以原方程的通解为 3 2 y x y dy dx x = ? ? 19/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例11 . ln 2 的通解 求方程 y x y y y x = ? ′ 解:得方程两边除以 y 2 ln x y y y x = ? ′ y y y ′ = ′ 1 ) (ln Q y v ln = ∴令xvxv=?′1:解此一阶线性方程 . 2 Cx x v + = : 即原方程的解为 . ln 2 Cx x y + = 一般地: 根据方程本身的特点,引入合适的变量化原方程 为可求解类型的方程进行求解. 20/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例12. 子的含量 M 成正比, , 0 M 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有)0(dd>?=λλMtM00MMt==(初始条件) 对方程分离变量, M M d , ln ln C t M + ? = λ 得即teCMλ?=利用初始条件, 得0MC=故所求铀的变化规律为 . 0 t e M M λ ? = M 0 M t o ∫ 然后积分: t d ) ( λ ? = ∫ 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 21/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 小结 变量可分离方程: y g x f dx dy = 一阶线性微分方程 ( ) ( ) x Q y x P y = + ′ ( ) ( ) ( ) ] [ C e x Q e y dx x P dx x P + ∫ ∫ = ∫ ? 通解: ? ? ? ? ? ? = x y f dx dy 齐次方程: 贝努利方程 ) ( ) ( ) ( 为常数 α α y x Q y x P y = + ′ ) ( f ey dx c by ax f dx dy + + + + = 22/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 课堂练习: 求下列方程的通解 , 2 d d 2 y x y x ? = ? ? ; 0 1 . 1 3 2 = + ′ + x y e y y 分离变量方程, ; . 2 2 2 y y x y x + ? = ′ ; 2 1 . 3 2 y x y ? = ′ C e e x y + = ? 3 3 1 , 0时>x时, 0 < x ( ) x y x y y + ? = ′ 2 1 ( ) x y x y y + ? ? = ′ 2 1 0 d ) 1 ln ( d ln 2 . 4 2 = ? + x x y y y x x x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 ? = ? ? (贝努利方程) 23/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 5. (1)如果 , bd ae ≠ 试证可适当选取常数 , k h与 能把方程 使变换 k v y h u x + = + = , ) ( f ey dx c by ax f dx dy + + + + = 化为齐次方程; (2)如果 程化为 可用适当变换将上述方 , bd ae = 可分离变量的方程. 证(1) ? ? ? = = ? ? ? = + + = + + ≠ k y h x f ey dx c by ax bd ae 有唯一解 则方程组 如果 0 0 , , ? ? ? + = + = k v y h u x 令)(fey dx c by ax f dx dy + + + + = ) ( ev du bv au f du dv + + = ) ( u v u v e d b a f du dv + + = (齐次微分方程) , , k e b d a bd ae = = = 则 如果 ), ( ey dx k by ax + = + ey dx u + = 令)()1(fucku f e d dx du e + + = ? 原方程化为 (2) (变量可分类方程) 24/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 3、 型的微分方程 2、 型的微分方程 ) , ( y x f y ′ = ′ ′ 可降阶高阶微分方程 1、 型的微分方程 ) ( ) ( x f y n = ) , ( y y f y ′ = ′ ′ 习题3.6 6(3)(5),8,10 (B)3 6.5 6.6 微分方程应用举例 25/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 1、 ) ( ) ( x f y n = 型的微分方程 例1. . cos 2 x e y x ? = ′ ′ ′ 求解 解: ( ) 1 2 cos C x d x e y x ′ + ? = ′ ′ ∫ 1 2 sin 2 1 C x e x ′ + ? = x e y 2 4 1 = ′ x e y 2 8 1 = ( ) 1 1 2 1 C C ′ = 此处 x sin + 2 1 x C + 3 2 C x C + + x cos + 2 1 C x C + ′ + 6.5 可降阶高阶微分方程 26/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 ) , ( y x f y ′ = ′ ′ 型的微分方程 设,)(x p y = ′ , p y ′ = ′ ′ 则 原方程化为一阶方程 ) , ( p x f p = ′ 设其通解为 ) , ( 1 C x p ? = 则得 ) , ( 1 C x y ? = ′ 再一次积分, 得原方程的通解 2 1 d ) , ( C x C x y + = ∫? 二、 y 不显含变量 ? ? ? ? ? ? 27/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例2. 求解微分方程 y x y x ′ = ′ ′ + 2 ) 1 ( 2 , 1 0 = = x y 3 0 = ′ = x y 解: ), (x p y = ′ 设,py′=′′则代入方程得 p x p x 2 ) 1 ( 2 = ′ + 分离变量 ) 1 ( d 2 d 2 x x x p p + = 积分得 , ln ) 1 ( ln ln 1 2 C x p + + = ) 1 ( 2 1 x C p + = 即,30=′=xy利用 , 3 1 = C 得 于是有 ) 1 ( 3 2 x y + = ′ 两端再积分得 2 3 3 C x x y + + = 利用 , 1 0 = = x y , 1 2 = C 得133++=xxy因此所求特解为 28/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 3、 ) , ( y y f y ′ = ′ ′ 型的微分方程 , p 令y=′xpydd=′′则xyypdddd?=yppdd=故方程化为 ) , ( d d p y f y p p = 设其通解为 ), , ( 1 C y p ? = 即得 ) , ( 1 C y y ? = ′ 分离变量后积分, 得原方程的通解 2 1 ) , ( d C x C y y + = ∫? x 不显含变量 ? ? ? ? ? ? 29/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例3. 求解方程 . 0 2 = ′ ? ′ ′ y y y 代入方程得 , 0 d d 2 = ? p y p p y y y p p d d = 即 两端积分得 , ln ln ln 1 C y p + = , 1 y C p = 即yCy1=′∴(一阶线性齐次方程) 故所求通解为 x C e C y 1 2 = 解: , p y = ′ 设xpydd=′′则yppdd=30/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例4. 解初值问题 解: 令???02=?′′yey,00==xy10=′=xy,py=′,ddyppy=′′则yeppydd2代入方程得 = 积分得 1 2 2 1 2 2 1 C e p y + = 利用初始条件, , 0 1 0 0 > = ′ = = = x y y p , 0 1 = C 得 根据 y e p x y = = d d , 2 C x e y 积分得 + = ? ? , 0 0 = = x y 再由 1 2 ? = C 得 故所求特解为 x e y = ? ? 1 得31/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.6 微分方程的应用 例1 求一连续可导函数 ) (x f t t x f x x f x d ) ( sin ) ( 0 ? ? = ∫ 使其满足下列方程: 解: 令txu?=uufxxfxd)(sin ) ( 0 ∫ ? = 则有 x x f x f cos ) ( ) ( = + ′ 0 ) 0 ( = f 利用公式可求出 ) sin (cos 2 1 ) ( x e x x x f ? ? + = dt du ? = 则32/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 , ) (x f y y = + ′ 其中 = ) (x f 1 0 , 2 ≤ ≤ x 1 , 0 > x 试求此方程满足初始条件 0 0 = = x y 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 1 0 , 2 ≤ ≤ = + ′ x y y 0 0 = = x y 利用通解公式, 得∫=?xeyd()1dd2Cxex+∫∫xeC?+=12利用 0 0 = = x y 得21?=C故有 ) 1 0 ( 2 2 ≤ ≤ ? = ? x e y x 例2. 设有微分方程 33/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 2) 再解定解问题 1 , 0 > = + ′ x y y 1 1 2 2 ) 1 ( ? = ? = = e y y x 此齐次线性方程的通解为 ) 1 ( 2 ≥ = ? x e C y x 利用衔接条件得 ) 1 ( 2 2 ? = e C 因此有 ) 1 ( ) 1 ( 2 ≥ ? = ? x e e y x 3) 原问题的解为 ? ? ? = y 1 0 ), 1 ( 2 ≤ ≤ ? ? x e x 1 , ) 1 ( 2 ≥ ? ? x e e x 34/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例3. 成正比, 求解: 根据牛顿第二定律 = t v m d d 0 0 = = t v 初始条件为 利用初始条件, 得 其通解为 k g m C ? = 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, ) 1 ( t m k e k g m v ? ? = mg v k ? 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v ≈ t 足够大时 ? mg kv f = . t m k Ce k mg v ? + = 35/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 , 0 0 = = t x 例4. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 , ) 0 ( 0 F F = 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 ) ( d d 2 2 t F t x m = t F o T 0 F = F ) 1 ( 0 T t F ? = 0 d d 0 = = t t x ) 1 ( 0 T t F ? t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律. 初速度为0, 且 两次积分,并利用初始条件 ,得 所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 2 0 T t t m F x ? = 3 36/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例5 混合问题 有一容器内盛清水100升,现将每升含盐量4克的盐水以每分 5升的速率注入容器.并不断进行搅拌使混合液迅速达到均匀 同时混合液以每分钟3升的速率流出容器,问在任一时刻 t 容器内的含盐量是多少?在20 分钟末容器中的含 盐量是多少? 解设t时,含盐量 x 克,变化率为 dt dx t 时,盐水总量为100+(5-3) t,盐水浓度为 t x 2 100 + 单位时间流入20克, t x 2 100 3 + t x dt dx 2 100 3 20 + ? = 分升/5235)2100 ( 10 4 ) 2 100 ( 4 ? + * * ? + = t t x 0 ) 0 ( = x 时, 20 = t 克) ( 5 . 318 ≈ x 分升/3流出 克{37/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 为曲边的曲边梯形面积 例6. 2 ) ( y y y 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 ′ = ′ ′ 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( = ′ = y y 又)0()(≥xxy设函数 二阶可导, 且,0)(>′xy)(x y y = 过曲线 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 , 1 S 区间[ 0, x ] 上以 , 2 S 记为 ) ( 切线及 x 轴的垂线, x y , 1 2 2 1 ≡ ? S S 且)(x y y = 求,0)(,1)0(>解: ′ = x y y 因为 . 0 ) ( > x y 所以 于是 α tan 2 1 1 y y S ? = , 2 2 y y ′ = 2 S ) (x y y = 设曲线 在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 满足的方程 . , 1 ) 0 ( = y 积记为 ( 99 考研 ) α t t y S x d ) ( 0 2 ∫ = P x y 1 S 1 o y x ∫ = ? ′ x t t y y y 0 2 1 d ) ( 所求曲线方程为 x e y = 38/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 游船上的传染病人数 一只游船上有800人,一名游客患了某种传 染病,12小时后有3人发病,由于这种传染病 没有早期症状,故感染者不能被及时隔离, 直升机将在60至72小时之间将疫苗运到,试 估算疫苗运到时患此传染病的人数. 例7 39/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 P259:12题--800人,一名游客患了某种传染病,12小 时后有3人发病,60至72小时之间患此传染病的人数. 设y(t)表示发现首例病人后t小时时刻的感染人数 解???????==?=3)12 ( 1 ) 0 ( ) 800 ( y y y ky dt dy 799 , 09176 . 0 800 = ≈ C k t=60时感染人数为 y(60) ≈188 则800-y(t)表示此刻未受感染的人数. 由题意知y(0)=1, y(12)=3 ? ? ? ? ? ? ? = = + = ? 3 ) 12 ( 1 ) 0 ( 1 800 ) ( 800 y y Ce t y kt t e t y 09176 . 0 799 1 800 ) ( ? + = t=72时感染人数为 y(72) ≈385 可见传染病流行时及时 采取措施是至观重要的 40/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: 例6 ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例3 , 例4)3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 小结: 解微分方程应用题的方法和步骤 41/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 他是嫌疑犯吗? 某公安局于晚上7:30发现一具女尸,当晚 8:20分法医测得尸体温度为32.6℃,一小时后尸 体被抬走时测得体温为31.4℃,假定室温在几小时 内均为21.1℃.由案情分析得知张某是此案的主 要嫌疑犯,但张某矢口否认,并有证人说:"下午 张某一直在办公室,下午5时打了一个电话后才离 开办公室",从办公室到凶案现场步行需5分钟, 问张某能否被排除在嫌疑犯之外? 42/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 8:20---32.6℃,9:20---31.4℃, 室温:21.1℃.确定 死亡时间是下午5点5分以前还是以后? 设T(t)表示t时刻尸体温度,并记8:20为t=0,则T(0)= 32.6℃,T(1)= 31.4℃ 人体体温受大脑神经中枢调节,人死后体温调节功能消失,尸体 温度受外界环境的影响,尸体温度的变化率服从冷却定律,即有 分析 ) 1 . 21 ( ? ? = T k dt dT kt Ce t T 假设受害者死亡时体温是正常的,即T= 37℃, 求T(t)= 37℃时的时间t ? + = 1 . 21 ) ( 由T(0)= 32.6℃, T(1)= 31.4℃,得c=11.5, k≈0.11 t e t T 11 . 0 5 . 11 1 . 21 ) ( ? + = 当T= 37℃时, t=-2.95小时 ≈2小时57分钟 死亡时间Td≈8小时20分-2小时57分钟=5时23分 结论: 张某不能被排除在嫌疑犯之外 43/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 谢谢! 谢谢! 李换琴 西安交通大学理学院 hqlee@mail.xjtu.edu.cn
下载该文档
文档格式：PDF
更新时间：2014-02-04
下载次数：0
点击次数：1
工科数学分析基础 工科数学分析基础 李换琴 西安交通大学理学院 hqlee@mail.xjtu.edu.cn 2/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 1 第三章 一元函数积分学及其应用 第三节 两种基本积分法 第四节 定积分的应用 第一节 定积分的概念 第二节 微积分的基本公式 第五节 反常积分 第六节 几类简单的微分方程 3/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 第六节 几类简单的微分方程 习题3.6 (A) 1(4)(5), 2(3) 3(3),4(2)(4)(6)(8) 引例 微分方程的基本概念 几类简单的微分方程 4/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.1 几个基本概念 例1.一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , x x y 2 d d = ① ∫ = x x y d 2 C x + = 2 . 1 2 (C为任意常数) 由②得C=1, + = x y 因此所求曲线方程为 2 1 = = x y ② 由①得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 一、引例 则有如下关系式: 5/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例2. 列车在平直路上以 s m 20 的速度行驶, 制动时 获得加速度 , s m 4 . 0 2 ? = a 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知 求制动后列车的运动规律. 4 . 0 d d 2 2 ? = t s , 0 0 = = t s 20 0 d d = = t t s 2 1 2 2 . 0 C t C t s 由前一式两次积分, 可得 + + ? = 利用后两式可得 0 , 20 2 1 = = C C 因此所求运动规律为 t t s 20 2 . 0 2 + ? = 思考: 制动后多少时间列车才能停住 ? 制动后行驶了多少路程 ? 即求 s = s (t) . 6/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 0 ) , , , , ( ) ( = ′ n y y y x F L ) , , , , ( ) 1 ( ) ( ? ′ = n n y y y x f y L ( n 阶显式微分方程) 二、微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或7/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 , 0 0 = = t s 20 0 = = t dt ds 引例2 4 . 0 2 2 ? = dx y d — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ) 1 ( 0 0 ) 1 ( 0 0 0 0 ) ( , , ) ( , ) ( ? ? = ′ = ′ = n n y x y y x y y x y L n 阶方程的初始条件(或初值条件): — 确定通解中任意常数的条件. 的阶数相同. 特解 x dx dy 2 = 2 1 = = x y 引例1 C x y + = 2 2 1 2 2 . 0 C t C t s + + ? = 通解: t t s 20 2 . 0 2 + ? = 1 2 + = x y 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 特解: 其图形称为积分曲线. 8/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.2 可分类变量的一阶微分方程 形式: 求解方法: 变量分离 ( ) 0 ≠ y g ( ) ( )dx x f y g dy = ( ) ( ) y g x f dx dy = ( ) ( )连续,且 假设 y g x f , ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )的解 是方程 设1xyy=()()[]()dx x f x y g dx x y = ′ 两端积分 ( ) x y y = 令()()Cdx x f y g dy + = ∫ ∫ c ( ) ( ) C x F y G + = ( ) ? ( ) )的通解, 是方程(1 ? ( ) , 0 0 0 = = y g y y 使 若存在 也是原方程的解 直接验证可知 0 y y = 隐式解 9/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例3 求方程 y y x y ′ = ? 2 2 3 1 的通解. 解2231xdx y ydy = ? ( ) 1 ± ≠ y C x dx y ydy + = ? ∫ ∫ 2 2 3 1 C x y + ? = ? ? 3 1 1 2 也是原方程的解. 直接验证可知 1 ± = y ? ? 为通解 10/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.3 一阶线性微分方程 一般形式: ( ) ( ) x Q y x P y = + ′ ( ) 0 = + ′ y x P y 线性齐次方程 线性非齐次方程 ( ) 1 ( ) 2 ( )dx x P y dy ? = ( ) 1 ln C dx x P y + ? = ∫ ( ) ∫ = ? dx x P Ce y 齐次方程 ( ) 0 = + ′ y x P y 的求解 所以线性齐次方程 ( ) 0 = + ′ y x P y 的通解为 11/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 ( ) ∫ = ? dx x P Ce y ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ + ∫ ? dx x P dx x P e x Q e 非齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 = + ( ) ( )的通解 求xQyxPy=+′(), x h C = 令()()为非齐次方程的解 设∫=?dx x P e x h y ( ) x h y ′ = ′ 则()()()xQexhdx x P = ∫ ′ ? ( ) ( ) ( ) ] [ C e x Q e y dx x P dx x P + ∫ ∫ = ∫ ? ( ) ( ) ( ) C e x Q x h dx x P + ∫ = ∫ 即 通解 代入非齐次方程,得把yy′,()()()y x P e x h dx x P ? ∫ ′ = ? (常数变易法) 即()∫?dx x P e ( ) ( ) [ ] x P e dx x P ? ∫ ? ) (x h + 12/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例7 求方程 x y dx dy = + 的通解. 解法1 先求齐次的通解 o 1 0 = + y dx dy dx y dy ? = ? 常数变易法 o 2 ( ) 代入方程 设,xexhy?=()xxe x h = ′ ? 原方程的通解为 ∴ 1 ? + = ? x Ce y x x e x h x = ′ ? ) ( 有xCeey?±=?11ln C x y + ? = ? x Ce y ? = ? ( ) x x e x h e x h y ? ? ? ′ = ′ ) ( x y + ? = ( ) C e xe x h x x + ? = ? 解法2 直接代公式 原方程的通解为 ∫ + ∫ ∫ = ? ] [ C dx xe e y dx dx ∫ + = ? ] [ C dx xe e x x 1 ? + = ? x Ce x 13/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例8 求方程 y y x y = ′ + ) ( 2 的通解. 分析: y x y dy dx = ? 1 原方程可化为 解xyydx dy + = 2 y y x dy dx + = ? 为 由公式,原方程的通解 ∫ + ∫ ∫ = ? ? ? ] [ ) 1 ( ) 1 ( C dy ye e x dy y dy y ∫ + = ] 1 [ C dy y y y Cy y + = 2 14/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.4 可用变量代换法求解的一阶微分方程 1.一阶齐次微分方程 ? ? ? ? ? ? = x y f dx dy 形如 , x y u = 令,dx du x u dx dy + = ( ) u f dx du x u = + ( ) dx u u f xdu ] [ ? = , xu y = 则 (变量可分类方程) 15/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 2 2 y x xy dx dy ? = ( )2 / 1 / x y x y dx dy ? = 2 1 u u ? = dx du x u + 例5 解方程 , x y u = 令解xdx du u u = ? 3 2 1 C x u u ln ln ln 2 1 2 + = ? ? 2 2 1 ) ln( u Cux ? = 2 2 1 u e Cux ? = 2 2 2 . x y Cy e ? = 得 代入 把xyu=0.y=另外 也是解 2 2 2 y x Ce y ? = 通解可表示为 16/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 2、Bernoulli(贝努利)方程 ) ( ) ( ) ( 为常数 形如: α = + ′ α y x Q y x P y , 0时当=α)()(xQyxPy=+′,1时 当=αyxQyxPy)()(=+′.为一阶线性方程 . 为可分离变量方程 , 1 , 0 时当≠α)()(1xQyxPyy=+′??αα=′?)(1αyQyy′??α α) 1 ( : 1 代入 令vy=∴?α ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( x Q v x P v α α ? = ? + ′ . 一阶线性方程 17/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例9 求方程 的特解. 满足条件 1 0 2 0 2 = = ? + ′ = x y x xy y y 分析: 1 2 ? = + ′ xy xy y 原方程化为 x xu u u y 2 4 2 = + ′ = 令2122+=?xCe ) 1 ( 2 1 2 2 2 + = ? x e y ] 2 [ 4 4 C dx xe e u xdx xdx + ∫ ∫ = 解∫?原方程的特解为 ∴ 1 , 0 = = y x ? 2 1 = C ] 2 [ 2 2 2 2 C dx xe e x x + = ∫ ? ] 2 1 [ 2 2 2 2 C e e x x + = ? 通解为 贝努利方程 18/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例10 . 1 3 2 的通解 求解方程 y x xy dx dy + = 解23xyyx dy dx = ? 贝努利方程 ) , ( 为自变量 为函数 y x 1 ? = x v 令3yyv dy dv ? = + 得:通解为 ∫ + ∫ ? ∫ = ? ] [ 3 C dy e y e v ydy ydy . 2 2 2 1 2 y Ce y ? + = ? . 2 1 2 2 1 2 y Ce x y ? + = ? 所以原方程的通解为 3 2 y x y dy dx x = ? ? 19/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例11 . ln 2 的通解 求方程 y x y y y x = ? ′ 解:得方程两边除以 y 2 ln x y y y x = ? ′ y y y ′ = ′ 1 ) (ln Q y v ln = ∴令xvxv=?′1:解此一阶线性方程 . 2 Cx x v + = : 即原方程的解为 . ln 2 Cx x y + = 一般地: 根据方程本身的特点,引入合适的变量化原方程 为可求解类型的方程进行求解. 20/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例12. 子的含量 M 成正比, , 0 M 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有)0(dd>?=λλMtM00MMt==(初始条件) 对方程分离变量, M M d , ln ln C t M + ? = λ 得即teCMλ?=利用初始条件, 得0MC=故所求铀的变化规律为 . 0 t e M M λ ? = M 0 M t o ∫ 然后积分: t d ) ( λ ? = ∫ 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 21/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 小结 变量可分离方程: y g x f dx dy = 一阶线性微分方程 ( ) ( ) x Q y x P y = + ′ ( ) ( ) ( ) ] [ C e x Q e y dx x P dx x P + ∫ ∫ = ∫ ? 通解: ? ? ? ? ? ? = x y f dx dy 齐次方程: 贝努利方程 ) ( ) ( ) ( 为常数 α α y x Q y x P y = + ′ ) ( f ey dx c by ax f dx dy + + + + = 22/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 课堂练习: 求下列方程的通解 , 2 d d 2 y x y x ? = ? ? ; 0 1 . 1 3 2 = + ′ + x y e y y 分离变量方程, ; . 2 2 2 y y x y x + ? = ′ ; 2 1 . 3 2 y x y ? = ′ C e e x y + = ? 3 3 1 , 0时>x时, 0 < x ( ) x y x y y + ? = ′ 2 1 ( ) x y x y y + ? ? = ′ 2 1 0 d ) 1 ln ( d ln 2 . 4 2 = ? + x x y y y x x x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 ? = ? ? (贝努利方程) 23/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 5. (1)如果 , bd ae ≠ 试证可适当选取常数 , k h与 能把方程 使变换 k v y h u x + = + = , ) ( f ey dx c by ax f dx dy + + + + = 化为齐次方程; (2)如果 程化为 可用适当变换将上述方 , bd ae = 可分离变量的方程. 证(1) ? ? ? = = ? ? ? = + + = + + ≠ k y h x f ey dx c by ax bd ae 有唯一解 则方程组 如果 0 0 , , ? ? ? + = + = k v y h u x 令)(fey dx c by ax f dx dy + + + + = ) ( ev du bv au f du dv + + = ) ( u v u v e d b a f du dv + + = (齐次微分方程) , , k e b d a bd ae = = = 则 如果 ), ( ey dx k by ax + = + ey dx u + = 令)()1(fucku f e d dx du e + + = ? 原方程化为 (2) (变量可分类方程) 24/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 3、 型的微分方程 2、 型的微分方程 ) , ( y x f y ′ = ′ ′ 可降阶高阶微分方程 1、 型的微分方程 ) ( ) ( x f y n = ) , ( y y f y ′ = ′ ′ 习题3.6 6(3)(5),8,10 (B)3 6.5 6.6 微分方程应用举例 25/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 1、 ) ( ) ( x f y n = 型的微分方程 例1. . cos 2 x e y x ? = ′ ′ ′ 求解 解: ( ) 1 2 cos C x d x e y x ′ + ? = ′ ′ ∫ 1 2 sin 2 1 C x e x ′ + ? = x e y 2 4 1 = ′ x e y 2 8 1 = ( ) 1 1 2 1 C C ′ = 此处 x sin + 2 1 x C + 3 2 C x C + + x cos + 2 1 C x C + ′ + 6.5 可降阶高阶微分方程 26/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 ) , ( y x f y ′ = ′ ′ 型的微分方程 设,)(x p y = ′ , p y ′ = ′ ′ 则 原方程化为一阶方程 ) , ( p x f p = ′ 设其通解为 ) , ( 1 C x p ? = 则得 ) , ( 1 C x y ? = ′ 再一次积分, 得原方程的通解 2 1 d ) , ( C x C x y + = ∫? 二、 y 不显含变量 ? ? ? ? ? ? 27/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例2. 求解微分方程 y x y x ′ = ′ ′ + 2 ) 1 ( 2 , 1 0 = = x y 3 0 = ′ = x y 解: ), (x p y = ′ 设,py′=′′则代入方程得 p x p x 2 ) 1 ( 2 = ′ + 分离变量 ) 1 ( d 2 d 2 x x x p p + = 积分得 , ln ) 1 ( ln ln 1 2 C x p + + = ) 1 ( 2 1 x C p + = 即,30=′=xy利用 , 3 1 = C 得 于是有 ) 1 ( 3 2 x y + = ′ 两端再积分得 2 3 3 C x x y + + = 利用 , 1 0 = = x y , 1 2 = C 得133++=xxy因此所求特解为 28/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 3、 ) , ( y y f y ′ = ′ ′ 型的微分方程 , p 令y=′xpydd=′′则xyypdddd?=yppdd=故方程化为 ) , ( d d p y f y p p = 设其通解为 ), , ( 1 C y p ? = 即得 ) , ( 1 C y y ? = ′ 分离变量后积分, 得原方程的通解 2 1 ) , ( d C x C y y + = ∫? x 不显含变量 ? ? ? ? ? ? 29/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例3. 求解方程 . 0 2 = ′ ? ′ ′ y y y 代入方程得 , 0 d d 2 = ? p y p p y y y p p d d = 即 两端积分得 , ln ln ln 1 C y p + = , 1 y C p = 即yCy1=′∴(一阶线性齐次方程) 故所求通解为 x C e C y 1 2 = 解: , p y = ′ 设xpydd=′′则yppdd=30/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例4. 解初值问题 解: 令???02=?′′yey,00==xy10=′=xy,py=′,ddyppy=′′则yeppydd2代入方程得 = 积分得 1 2 2 1 2 2 1 C e p y + = 利用初始条件, , 0 1 0 0 > = ′ = = = x y y p , 0 1 = C 得 根据 y e p x y = = d d , 2 C x e y 积分得 + = ? ? , 0 0 = = x y 再由 1 2 ? = C 得 故所求特解为 x e y = ? ? 1 得31/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 6.6 微分方程的应用 例1 求一连续可导函数 ) (x f t t x f x x f x d ) ( sin ) ( 0 ? ? = ∫ 使其满足下列方程: 解: 令txu?=uufxxfxd)(sin ) ( 0 ∫ ? = 则有 x x f x f cos ) ( ) ( = + ′ 0 ) 0 ( = f 利用公式可求出 ) sin (cos 2 1 ) ( x e x x x f ? ? + = dt du ? = 则32/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 , ) (x f y y = + ′ 其中 = ) (x f 1 0 , 2 ≤ ≤ x 1 , 0 > x 试求此方程满足初始条件 0 0 = = x y 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 1 0 , 2 ≤ ≤ = + ′ x y y 0 0 = = x y 利用通解公式, 得∫=?xeyd()1dd2Cxex+∫∫xeC?+=12利用 0 0 = = x y 得21?=C故有 ) 1 0 ( 2 2 ≤ ≤ ? = ? x e y x 例2. 设有微分方程 33/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 2) 再解定解问题 1 , 0 > = + ′ x y y 1 1 2 2 ) 1 ( ? = ? = = e y y x 此齐次线性方程的通解为 ) 1 ( 2 ≥ = ? x e C y x 利用衔接条件得 ) 1 ( 2 2 ? = e C 因此有 ) 1 ( ) 1 ( 2 ≥ ? = ? x e e y x 3) 原问题的解为 ? ? ? = y 1 0 ), 1 ( 2 ≤ ≤ ? ? x e x 1 , ) 1 ( 2 ≥ ? ? x e e x 34/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例3. 成正比, 求解: 根据牛顿第二定律 = t v m d d 0 0 = = t v 初始条件为 利用初始条件, 得 其通解为 k g m C ? = 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, ) 1 ( t m k e k g m v ? ? = mg v k ? 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v ≈ t 足够大时 ? mg kv f = . t m k Ce k mg v ? + = 35/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 , 0 0 = = t x 例4. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 , ) 0 ( 0 F F = 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 ) ( d d 2 2 t F t x m = t F o T 0 F = F ) 1 ( 0 T t F ? = 0 d d 0 = = t t x ) 1 ( 0 T t F ? t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律. 初速度为0, 且 两次积分,并利用初始条件 ,得 所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 2 0 T t t m F x ? = 3 36/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 例5 混合问题 有一容器内盛清水100升,现将每升含盐量4克的盐水以每分 5升的速率注入容器.并不断进行搅拌使混合液迅速达到均匀 同时混合液以每分钟3升的速率流出容器,问在任一时刻 t 容器内的含盐量是多少?在20 分钟末容器中的含 盐量是多少? 解设t时,含盐量 x 克,变化率为 dt dx t 时,盐水总量为100+(5-3) t,盐水浓度为 t x 2 100 + 单位时间流入20克, t x 2 100 3 + t x dt dx 2 100 3 20 + ? = 分升/5235)2100 ( 10 4 ) 2 100 ( 4 ? + * * ? + = t t x 0 ) 0 ( = x 时, 20 = t 克) ( 5 . 318 ≈ x 分升/3流出 克{37/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 为曲边的曲边梯形面积 例6. 2 ) ( y y y 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 ′ = ′ ′ 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( = ′ = y y 又)0()(≥xxy设函数 二阶可导, 且,0)(>′xy)(x y y = 过曲线 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 , 1 S 区间[ 0, x ] 上以 , 2 S 记为 ) ( 切线及 x 轴的垂线, x y , 1 2 2 1 ≡ ? S S 且)(x y y = 求,0)(,1)0(>解: ′ = x y y 因为 . 0 ) ( > x y 所以 于是 α tan 2 1 1 y y S ? = , 2 2 y y ′ = 2 S ) (x y y = 设曲线 在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 满足的方程 . , 1 ) 0 ( = y 积记为 ( 99 考研 ) α t t y S x d ) ( 0 2 ∫ = P x y 1 S 1 o y x ∫ = ? ′ x t t y y y 0 2 1 d ) ( 所求曲线方程为 x e y = 38/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 游船上的传染病人数 一只游船上有800人,一名游客患了某种传 染病,12小时后有3人发病,由于这种传染病 没有早期症状,故感染者不能被及时隔离, 直升机将在60至72小时之间将疫苗运到,试 估算疫苗运到时患此传染病的人数. 例7 39/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 P259:12题--800人,一名游客患了某种传染病,12小 时后有3人发病,60至72小时之间患此传染病的人数. 设y(t)表示发现首例病人后t小时时刻的感染人数 解???????==?=3)12 ( 1 ) 0 ( ) 800 ( y y y ky dt dy 799 , 09176 . 0 800 = ≈ C k t=60时感染人数为 y(60) ≈188 则800-y(t)表示此刻未受感染的人数. 由题意知y(0)=1, y(12)=3 ? ? ? ? ? ? ? = = + = ? 3 ) 12 ( 1 ) 0 ( 1 800 ) ( 800 y y Ce t y kt t e t y 09176 . 0 799 1 800 ) ( ? + = t=72时感染人数为 y(72) ≈385 可见传染病流行时及时 采取措施是至观重要的 40/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: 例6 ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例3 , 例4)3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 小结: 解微分方程应用题的方法和步骤 41/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 他是嫌疑犯吗? 某公安局于晚上7:30发现一具女尸,当晚 8:20分法医测得尸体温度为32.6℃,一小时后尸 体被抬走时测得体温为31.4℃,假定室温在几小时 内均为21.1℃.由案情分析得知张某是此案的主 要嫌疑犯,但张某矢口否认,并有证人说:"下午 张某一直在办公室,下午5时打了一个电话后才离 开办公室",从办公室到凶案现场步行需5分钟, 问张某能否被排除在嫌疑犯之外? 42/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 8:20---32.6℃,9:20---31.4℃, 室温:21.1℃.确定 死亡时间是下午5点5分以前还是以后? 设T(t)表示t时刻尸体温度,并记8:20为t=0,则T(0)= 32.6℃,T(1)= 31.4℃ 人体体温受大脑神经中枢调节,人死后体温调节功能消失,尸体 温度受外界环境的影响,尸体温度的变化率服从冷却定律,即有 分析 ) 1 . 21 ( ? ? = T k dt dT kt Ce t T 假设受害者死亡时体温是正常的,即T= 37℃, 求T(t)= 37℃时的时间t ? + = 1 . 21 ) ( 由T(0)= 32.6℃, T(1)= 31.4℃,得c=11.5, k≈0.11 t e t T 11 . 0 5 . 11 1 . 21 ) ( ? + = 当T= 37℃时, t=-2.95小时 ≈2小时57分钟 死亡时间Td≈8小时20分-2小时57分钟=5时23分 结论: 张某不能被排除在嫌疑犯之外 43/43 2010-11-22 几类简单的微分方程 谢谢! 谢谢! 李换琴 西安交通大学理学院 hqlee@mail.xjtu.edu.cn