高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 1 / 8 2.1.2 指数函数及其性质 教学设计 荥阳二高:齐红玲 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 2 / 8 2.1.2 指数函数及其性质教学方案 课题:2.1.2 指数函数及其性质 课型:新授课 教学目标: 1.通过具体实例,了解指数函数的实际背景,从而构建指数函数的概念. 2.会画具体的指数函数的图象. 3.通过自主探究,合作交流,能根据具体的指数函数的图象归纳出指数函数的图象特征与性质. 4.会利用指数函数的图象与性质比较幂的大小. 教学重点和难点: 重点:指数函数的图象、性质及其应用 . 难点:用数形结合的方法,从具体到一般的探索指数函数图象,概括指数函数性质的过程. 教学手段: 多媒体辅助教学 教法学法: 教法:启发诱导和合作探究相结合,引导学生主动观察与思考,合作交流、共同探索来完成本节课的 教学. 学法:从学生原有的函数概念、性质等知识出发,组织、引导学生独立思考,通过合作交流、共同探 索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法. 教学设计思路和教学流程: 教学设计思路:有了前面的知识储备,我们您就可以顺理成章的学习本节课的内容,所以在教学过程 中,主要采用"启发诱导,合作探究"的课堂组织模式. 教学流程:通过生活中两个实例的引入,激发学生的学习兴趣,接着提出两个问题,让学生通过观 察、分析、讨论交流得出指数函数的概念.结合练习让学生加深对指数函数概念的理解,引导学生通 过列表、描点、连线的步骤来画两组具体的指数函数的图象,通过引导学生对具体的指数函数图象进 行观察归纳、讨论交流得出指数函数的性质,同时让学生体会到从具体到一般的思想方法,然后,通 过对例题的分析解答,巩固指数函数的图象与性质,最后,当堂检测学生对学习目标的完成情况. 教学过程设计: 创设情境、引出课题: 同学们,你们想发财吗?现在有一个"帮你发财"公司想和你签约:从今天开始每天给你 10 万元,而 你承担如下任务:第一天给公司 1 元,第二天给公司 2 元,,第三天给公司 4 元,第四天给公司 8 元,依次 下去?那么, 要和你签定 15 天的合同,你同意吗?又公司要和你签定 30 天的合同,你能签这个合同吗? 同学们,考虑一下怎么办?学习了今天的指数函数及其性质大家就知道怎么做了. (一) :创设情境、导入新课 实例引入:问题 1、某种细胞分裂时,由1个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,1 个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与分裂次数 x 的关系式是什么? 学情预设:通过动画演示分裂过程,引导学生思考具体的问题. 问题 2、 《庄子.天下篇》中写道: "一尺之棰,日取其半,万世不竭. "请你写出截取 x 次后,木棰剩 余量 y 关于 x 的函数关系式? 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 3 / 8 学情预设:通过动画演示截取过程,引导学生思考具体的问题. 设计意图:用函数的观点来分析问题,为引出指数函数的模型 (a>0 且a≠1)做准备,以利 于学生体会指数函数的概念来自于生活,并且服务于生活. (二) 师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 老师:提出探究问题 1:上述问题中的两个对应关系能否构成函数关系? 提出探究问题 2:上述两个函数有什么样的共同特征? 学生:通过思考讨论不难得出探究 1 的结论:因为每给 x 一个确定的值,y 都有唯一确定的值和它对 应,所以能够构成函数关系. 引导学生通过观察得出两个函数的共同特征: (1)底数都是一个正常数,指数都是一个变量 (2)如果可以用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成 的形式,自变量在指数 位置,我们把具有这种形式的函数叫做指数函数. 设计意图 :引导学生从具体问题、实际问题中抽象出指数函数的模型, 由学生归纳出指数函数的概 念,培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力. 指数函数:一般地,函数 (a>0 且a≠1) 叫做指数函数,其中 x 为自变量,a 是常数,定义 域为 R. 思考:定义中为什么规定 a>0 且a≠1 呢?然后引导学生探讨若不满足条件时, 会怎样呢? (小组讨论) :通过交流合作、教师引导,找学生代表回答: (1)若a=1,则对于任何 , 是一个常量,没有研究的价值. (2)若a=0,则当x>0时, ,没有研究的价值;当x≤0时, 无意义. (3)若a<0,则对于x的某些数值,可使 无意义. 为便于研究,且保证指数函数定义域为R,所以规定:a>0 且a≠1. 设计意图: 1.通过对 a 的范围的具体分析,使学生进一步掌握指数函数一般形式. 2.讨论出 a>0 且a≠1,为下面研究性质是对底数的分类做准备. 小试牛刀:1.判断下列函数是否是指数函数,为什么?(通过多媒体给出练习) 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 4 / 8 (小组讨论)合作交流,找出代表回答. 答案: (1) 、(2)、(3)不是;(4)、 (5) 、(6)是 学情预设:学生可能会在(4)和(6)的判断上出现错误.在学生判断的过程中适时给予指导,提醒学 生必须在形式上一模一样. 学情预设:学生可能会在 a 值的取舍上出问题,在学生的求解过程中适时给予指导,提醒学生必须限 制条件找全. 题后反思:判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合 这一结构形式,其具备的特点为: (1)系数为 1; (2)底数为正数且不为 1; (3)指数为 x 2.变式: 设计意图:进一步加深学生对指数函数概念的理解,使学生认识到"指数函数"的定义是形式定义. 2. 指数函数的性质 在前面的学习中,我们是从哪些方面来研究函数? 提问学生来回答: 函数三要素(对应法则、定义域、值域) 、函数图象和函数的基本性质(单调性、 奇偶性等) . 设计意图 :培养学生的思维习惯,即应从哪些方面,哪些角度去探索一个具体函数. 老师:指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数.根据这个思路, 同学们先来完成下面的问题:请同学们先动手画一画下面函数的图象: 奇数列的同学在同一坐标系中画出函数 的图象; 偶数列的同学在同一坐标系中画出函数 在学生画图的过程中,进一步明确作图的一般步骤(列表→描点→连线)最后在多媒体上将这两组图 象给予展示.然后提出思考问题. 思考:1、每组中两个函数的图象有什么关系? (关于 y 轴对称) 2、可否利用 的图象画出 的图象?(可以画出) 接下来用多媒体给出 y =2 x 、 、y =3 x 、 这四个函数的图象. 作图过程:列表: 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 5 / 8 描点、连线: 并用几何画板演示随着 a 的变化图形的变化规律,引导学生观察图象,组织学生讨论,合作交流,得出 a>1 和00 且a≠1)的图象和性质如下 01 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质定点 过(0 , 1),即x=0时, y = 1 单调性 在R上是减函数 在R上是增函数 函数值特 点当x>0时,y > 1. 当x<0时,0< y < 1 当x<0时,y > 1; 当x>0时, 0< y < 1 设计意图:通过观察图象的特点和函数性质的建构培养学生的数形结合思想、分类讨论思想和抽象概 括思想,同时表格的完成将会使学生体会到很大的成功感,也将学生思考的热情带入高潮. (三) 典例分析、巩固训练 例1:已知指数函数 (a>0 且a≠1)的图像经过点(3,π ) ,求,,yx0y=1 (0,1) x y 0 y=1 (0,1) 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 6 / 8 的值. 解:因为 的图像过点 ,所以 ,即.解得 ,于是 . 所以 , , . 题后反思:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件,即可求出指数函数. 设计意图:让学生明确底数是确定指数函数的要素,同时向学生渗透方程的思想. 例2:比较下列各题中的两个值的大小 (1)1.7 2.5 ,1.7 3 (3)(0.3) 0.3 与(0.2) 0.3 (采用学生演板,学生评讲的办法来解决问题) 设计意图:利用指数函数的图象和单调性判断大小,引导学生观察这些指数值的特征,思考比较大小 的方法. 题后反思:1.同底不同指数的幂比大小,构造指数函数,利用函数单调性 2.同指不同底数的幂比大小,利用指数函数图像与底的关系比较 3.底不同,指数也不同 ,利用中间量 0 或1进行比较 设计意图:这是指数函数性质的简单应用,使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解 和记忆,再比较大小. (四) 课堂小结: (通过本节课的学习,你有哪些收获?) 1. 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? (1) .指数函数的概念; (2). 指数函数的图象及其性质 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 7 / 8 2.这节课主要通过什么方法来学习指数函数性质? ? 数形结合思想方法 ? 从具体的到一般的学习方法 利用图象来研究性质,利用图象来应用性质,所以记忆图象非常重要.引导学生用简练的语言来概括图 象特征. 教你一招:左右无限上冲天,永与横轴不沾边.大1增,小1减,图象恒过(0,1)点. 设计意图: 通过两个问题让学生在小结中明确本节课的学习内容和方法,进一步强化本节课的学习重 点. (五) 当堂检测: (你完成本节课的学习目标了吗?) 1.下列函数中一定是指数函数的是( ) 2.函数 . 3.已知 则 的大小关系是_ 解决开头提出的思考题: "帮你发财"理财公司想和你签约,从今天开始每天给你 10 万元,而你承 担如下任务:第一天给公司 1 元,第二天给公司 2 元,,第三天给公司 4 元,第四天给公司 8 元,依次下 去?那么, 要和你签定 15 天的合同,你同意吗?又公司要和你签定 30 天的合同,你能签这个合同吗? 通过本节课的学习引导学生分析 (六) 布置作业 (1)必做题:课本 59 页,A 组5,7,8 (2)选做题:课本 60 页,B 组4. 设计意图:遵循因材施教的原则,尊重学生的个体差异,让不同的学生有不同的发展.使基础一般的 同学可以通过必做题巩固知识,基础好的同学可以有拓展的空间. (七) 板书设计 2.1.2. 指数函数及其性质 一.指数函数的概念 典例精析:例1二.图象 例2(3) 三.性质 例2(4) 四.应用 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 8 / 8 (八)教学反思 本节课不仅仅是通过观察总结得到指数函数的性质,更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能 将其迁移到其他函数的研究中去,教师可以真正做到"授之以渔"而非"授之以鱼".要通过函数图象来 研究指数函数的性质,在以后的教学过程中还要加强作函数图象的练习.本节内容课堂容量大,要提高课堂 的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.
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高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 1 / 8 2.1.2 指数函数及其性质 教学设计 荥阳二高:齐红玲 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 2 / 8 2.1.2 指数函数及其性质教学方案 课题:2.1.2 指数函数及其性质 课型:新授课 教学目标: 1.通过具体实例,了解指数函数的实际背景,从而构建指数函数的概念. 2.会画具体的指数函数的图象. 3.通过自主探究,合作交流,能根据具体的指数函数的图象归纳出指数函数的图象特征与性质. 4.会利用指数函数的图象与性质比较幂的大小. 教学重点和难点: 重点:指数函数的图象、性质及其应用 . 难点:用数形结合的方法,从具体到一般的探索指数函数图象,概括指数函数性质的过程. 教学手段: 多媒体辅助教学 教法学法: 教法:启发诱导和合作探究相结合,引导学生主动观察与思考,合作交流、共同探索来完成本节课的 教学. 学法:从学生原有的函数概念、性质等知识出发,组织、引导学生独立思考,通过合作交流、共同探 索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法. 教学设计思路和教学流程: 教学设计思路:有了前面的知识储备,我们您就可以顺理成章的学习本节课的内容,所以在教学过程 中,主要采用"启发诱导,合作探究"的课堂组织模式. 教学流程:通过生活中两个实例的引入,激发学生的学习兴趣,接着提出两个问题,让学生通过观 察、分析、讨论交流得出指数函数的概念.结合练习让学生加深对指数函数概念的理解,引导学生通 过列表、描点、连线的步骤来画两组具体的指数函数的图象,通过引导学生对具体的指数函数图象进 行观察归纳、讨论交流得出指数函数的性质,同时让学生体会到从具体到一般的思想方法,然后,通 过对例题的分析解答,巩固指数函数的图象与性质,最后,当堂检测学生对学习目标的完成情况. 教学过程设计: 创设情境、引出课题: 同学们,你们想发财吗?现在有一个"帮你发财"公司想和你签约:从今天开始每天给你 10 万元,而 你承担如下任务:第一天给公司 1 元,第二天给公司 2 元,,第三天给公司 4 元,第四天给公司 8 元,依次 下去?那么, 要和你签定 15 天的合同,你同意吗?又公司要和你签定 30 天的合同,你能签这个合同吗? 同学们,考虑一下怎么办?学习了今天的指数函数及其性质大家就知道怎么做了. (一) :创设情境、导入新课 实例引入:问题 1、某种细胞分裂时,由1个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,1 个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与分裂次数 x 的关系式是什么? 学情预设:通过动画演示分裂过程,引导学生思考具体的问题. 问题 2、 《庄子.天下篇》中写道: "一尺之棰,日取其半,万世不竭. "请你写出截取 x 次后,木棰剩 余量 y 关于 x 的函数关系式? 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 3 / 8 学情预设:通过动画演示截取过程,引导学生思考具体的问题. 设计意图:用函数的观点来分析问题,为引出指数函数的模型 (a>0 且a≠1)做准备,以利 于学生体会指数函数的概念来自于生活,并且服务于生活. (二) 师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 老师:提出探究问题 1:上述问题中的两个对应关系能否构成函数关系? 提出探究问题 2:上述两个函数有什么样的共同特征? 学生:通过思考讨论不难得出探究 1 的结论:因为每给 x 一个确定的值,y 都有唯一确定的值和它对 应,所以能够构成函数关系. 引导学生通过观察得出两个函数的共同特征: (1)底数都是一个正常数,指数都是一个变量 (2)如果可以用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成 的形式,自变量在指数 位置,我们把具有这种形式的函数叫做指数函数. 设计意图 :引导学生从具体问题、实际问题中抽象出指数函数的模型, 由学生归纳出指数函数的概 念,培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力. 指数函数:一般地,函数 (a>0 且a≠1) 叫做指数函数,其中 x 为自变量,a 是常数,定义 域为 R. 思考:定义中为什么规定 a>0 且a≠1 呢?然后引导学生探讨若不满足条件时, 会怎样呢? (小组讨论) :通过交流合作、教师引导,找学生代表回答: (1)若a=1,则对于任何 , 是一个常量,没有研究的价值. (2)若a=0,则当x>0时, ,没有研究的价值;当x≤0时, 无意义. (3)若a<0,则对于x的某些数值,可使 无意义. 为便于研究,且保证指数函数定义域为R,所以规定:a>0 且a≠1. 设计意图: 1.通过对 a 的范围的具体分析,使学生进一步掌握指数函数一般形式. 2.讨论出 a>0 且a≠1,为下面研究性质是对底数的分类做准备. 小试牛刀:1.判断下列函数是否是指数函数,为什么?(通过多媒体给出练习) 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 4 / 8 (小组讨论)合作交流,找出代表回答. 答案: (1) 、(2)、(3)不是;(4)、 (5) 、(6)是 学情预设:学生可能会在(4)和(6)的判断上出现错误.在学生判断的过程中适时给予指导,提醒学 生必须在形式上一模一样. 学情预设:学生可能会在 a 值的取舍上出问题,在学生的求解过程中适时给予指导,提醒学生必须限 制条件找全. 题后反思:判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合 这一结构形式,其具备的特点为: (1)系数为 1; (2)底数为正数且不为 1; (3)指数为 x 2.变式: 设计意图:进一步加深学生对指数函数概念的理解,使学生认识到"指数函数"的定义是形式定义. 2. 指数函数的性质 在前面的学习中,我们是从哪些方面来研究函数? 提问学生来回答: 函数三要素(对应法则、定义域、值域) 、函数图象和函数的基本性质(单调性、 奇偶性等) . 设计意图 :培养学生的思维习惯,即应从哪些方面,哪些角度去探索一个具体函数. 老师:指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数.根据这个思路, 同学们先来完成下面的问题:请同学们先动手画一画下面函数的图象: 奇数列的同学在同一坐标系中画出函数 的图象; 偶数列的同学在同一坐标系中画出函数 在学生画图的过程中,进一步明确作图的一般步骤(列表→描点→连线)最后在多媒体上将这两组图 象给予展示.然后提出思考问题. 思考:1、每组中两个函数的图象有什么关系? (关于 y 轴对称) 2、可否利用 的图象画出 的图象?(可以画出) 接下来用多媒体给出 y =2 x 、 、y =3 x 、 这四个函数的图象. 作图过程:列表: 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 5 / 8 描点、连线: 并用几何画板演示随着 a 的变化图形的变化规律,引导学生观察图象,组织学生讨论,合作交流,得出 a>1 和00 且a≠1)的图象和性质如下 01 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质定点 过(0 , 1),即x=0时, y = 1 单调性 在R上是减函数 在R上是增函数 函数值特 点当x>0时,y > 1. 当x<0时,0< y < 1 当x<0时,y > 1; 当x>0时, 0< y < 1 设计意图:通过观察图象的特点和函数性质的建构培养学生的数形结合思想、分类讨论思想和抽象概 括思想,同时表格的完成将会使学生体会到很大的成功感,也将学生思考的热情带入高潮. (三) 典例分析、巩固训练 例1:已知指数函数 (a>0 且a≠1)的图像经过点(3,π ) ,求,,yx0y=1 (0,1) x y 0 y=1 (0,1) 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 6 / 8 的值. 解:因为 的图像过点 ,所以 ,即.解得 ,于是 . 所以 , , . 题后反思:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件,即可求出指数函数. 设计意图:让学生明确底数是确定指数函数的要素,同时向学生渗透方程的思想. 例2:比较下列各题中的两个值的大小 (1)1.7 2.5 ,1.7 3 (3)(0.3) 0.3 与(0.2) 0.3 (采用学生演板,学生评讲的办法来解决问题) 设计意图:利用指数函数的图象和单调性判断大小,引导学生观察这些指数值的特征,思考比较大小 的方法. 题后反思:1.同底不同指数的幂比大小,构造指数函数,利用函数单调性 2.同指不同底数的幂比大小,利用指数函数图像与底的关系比较 3.底不同,指数也不同 ,利用中间量 0 或1进行比较 设计意图:这是指数函数性质的简单应用,使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解 和记忆,再比较大小. (四) 课堂小结: (通过本节课的学习,你有哪些收获?) 1. 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? (1) .指数函数的概念; (2). 指数函数的图象及其性质 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 7 / 8 2.这节课主要通过什么方法来学习指数函数性质? ? 数形结合思想方法 ? 从具体的到一般的学习方法 利用图象来研究性质,利用图象来应用性质,所以记忆图象非常重要.引导学生用简练的语言来概括图 象特征. 教你一招:左右无限上冲天,永与横轴不沾边.大1增,小1减,图象恒过(0,1)点. 设计意图: 通过两个问题让学生在小结中明确本节课的学习内容和方法,进一步强化本节课的学习重 点. (五) 当堂检测: (你完成本节课的学习目标了吗?) 1.下列函数中一定是指数函数的是( ) 2.函数 . 3.已知 则 的大小关系是_ 解决开头提出的思考题: "帮你发财"理财公司想和你签约,从今天开始每天给你 10 万元,而你承 担如下任务:第一天给公司 1 元,第二天给公司 2 元,,第三天给公司 4 元,第四天给公司 8 元,依次下 去?那么, 要和你签定 15 天的合同,你同意吗?又公司要和你签定 30 天的合同,你能签这个合同吗? 通过本节课的学习引导学生分析 (六) 布置作业 (1)必做题:课本 59 页,A 组5,7,8 (2)选做题:课本 60 页,B 组4. 设计意图:遵循因材施教的原则,尊重学生的个体差异,让不同的学生有不同的发展.使基础一般的 同学可以通过必做题巩固知识,基础好的同学可以有拓展的空间. (七) 板书设计 2.1.2. 指数函数及其性质 一.指数函数的概念 典例精析:例1二.图象 例2(3) 三.性质 例2(4) 四.应用 高一上学期 人教版《普通高中课程标准实验教科书.数学》必修 1 第二章 授课人:荥阳二高:齐红玲 8 / 8 (八)教学反思 本节课不仅仅是通过观察总结得到指数函数的性质,更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能 将其迁移到其他函数的研究中去,教师可以真正做到"授之以渔"而非"授之以鱼".要通过函数图象来 研究指数函数的性质,在以后的教学过程中还要加强作函数图象的练习.本节内容课堂容量大,要提高课堂 的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.