2011 年 6 月 第 31 卷第 3 期
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郧阳师范高等 专科学校学报 Journal of Y unyang T eachers Co llege
Jun. 2011 V ol. 31 No . 3
不同数域上正交矩阵的特征值
袁
( 1. 郧阳师范高等专科学校
力 ,张
1
剑
2
数学与财经系, 湖北 十堰
十堰
442000;
2. 湖北十堰市郧阳中学, 湖北
[摘
442000)
要] 给出了 矩阵在 复数域与实 数域上的 特征值, 在此基础 上进一步 讨论了正交 对称矩阵 与正
交正定矩阵的特征值. [ 关键词] 矩阵; 特征值; 数域 [ doi] 10. 3969/ j. issn. 1008- 6072. 2011. 03. 015 [ 中图分类号] O151. 21 [ 文献标 识码] A [ 文章编号] 1008 6072( 2011) 03 0054 02
1 引言 在北京大学数学系编 高等 第九章课后 有个习题: 证明 矩阵的实特征值为 1 或 - 1
[ 1]
义出发, 我们可直接给出下列简洁, 但又十分重要 的性质: 引理 1 若 A , B 为正交矩 阵, 则 A , A - 1 , Z) 仍为 矩阵. 1. A
2
A* , AB , Am (m 引理 2
. 类似的问题在李师 高等 方法
若 A 为正交矩阵, 则 A = E A A =
与技巧 一书中, 第九章也存在, 证明 变换的 特征值等于 1 或者 - 1 [ 2] . 这类问题在正交矩阵及矩阵特征值部分的学 习中经常会遇到, 诸多文献也做了较为细致的讨 论 [ 3- 5] , 但他们共同的问题是, 均从特征值的角 度展开对问题的讨论, 没有考虑从数域的角度出 发证明的可行性. 显然上述两个问题的条件有所 不同, 前者是在实数域上讨论正交矩阵的特征值; 而后者对数域并没有做特殊要求, 但两者要证明 的结论却是相同的. 事实是否果真如此呢? 本文 将从数域角度出发, 给出 矩阵在不同数域上 的特征值, 并进一步得到了 对称矩阵与正交 矩阵的特征值定理.
AA
这是 因 为 A A = E = 1 引理 3 A = 1
=
若 A 为正交矩阵,
为 A 的特征
值, 则 1 也为 A 的特征值 [ 6] . 由 A 为正交矩阵, 则知 A A = E . 设 的一个特征值, 为A =
为对应的特征向量, 则有 A = A
. 两边同时乘以 A , 有 A A = 1 .
= E ,即
由此知, 1 为 A 的特征值. 同 时 E A E = A E =
, 即 A 与 A 有相同的特征多项式, 所 为 A 的特征值,
2 定义及相关性质 定义 1
n 级矩 阵 A 称为正 交矩阵, 如果
-1

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