水木艾迪考研辅导-----2008 解题思路班(微积分)
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解题思路班第 1 讲 微积分上
清华大学数学科学系
极限,连续与可导问题解题思路 函数性态研究 1:函数与导函数的零点问题 函数性态研究 2:增减性与凸性,极值点与拐点,不等式分析与证明问题 积分技巧训练,定积分概念与性质综合问题 定积分应用问题 级数的收敛性分析,幂级数展开与求和 1.极限与连续问题解题思路 极限定义与性质,四则与复合运算法则,标准极限(三个) ,无穷小量与无穷大 量排序,极限存在准则,无穷小量替换,罗必达法则,用定积分定义求极限, 若干可供利用的极限结论.处理极限问题的原则:摸着石头过河. 极限与点连续的等价描述,点连续的三要素,点连续的重要性质运用. 闭区间上连续函数的性质(三条) ,开区间上连续函数的情况.
1
刘坤林
1-1 lim(cos x)
x →0
ln(1+ x 2 )
=
. 【答】
1
1 . e
1 cos x 1 cos x 1 ln(1+ x 2 )
【解】 (方法 1) lim(cos x )
x →0
ln(1+ x 2 )
= lim(1 + cos x 1)
x →0
cos x 1 = lim lim x →0 ln(1 + x 2 ) x →0
1 2 1 x 1 1 ln(1+ x 2 ) 2 = , lim(cos x ) =e 2. x →0 x2 2
(方法 2)
1
lim(cos x)
x →0
ln(1+ x 2 )
=e
x → 0 ln(1+ x 2 )
lim
1
ln cos x
,
而
sin x ln cos x ln cos x 1 = lim = lim cos x = , lim 2 2 x →0 ln(1 + x ) x →0 x →0 x 2x 2
1 2
故 原式= e
=
1 e
.

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