量子力学教程(第二版)
5.2 无限深球方势阱
考虑质量为m的粒子在半径为a的球形匣子中运动,
这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动
V(r)
a
r
先考虑s态(l=0),此时,径向方程为
边条件为
(1)
(2)
(3a)
(3b)
5.2 无限深球方势阱
在阱内,方程(2)化为
(4)
式中
(5)
代入(5)式,得出粒子能量本征值
相应的归一化波函数可表示为
(7)
(8)
(6)
解得
解得 即
,再利用边界条件(3b)
其次,考虑l≠0情况,此时,径向方程为
(9)
边条件为
(10)
(11)
此为球贝塞尔方程,其两个特解可取为
球贝塞尔函数
球诺伊曼函数
(12)
,则方程(9)变为
引进无量纲变量
球方势阱内的解应取为
(13)
式中k由边条件(10)确定,即
(14)
粒子的能量本征值为
(15)
相应的能量本征函数表示为
(16)
当a→∞时,为自由粒子.此时,式(14)自动满足,能量连续变化
4π
14.066
15.515
16.924
3π
10.904
12.323
13.698
2π
7.725
9.095
10.417
π
4.493
5.764
6.988
0
1
2
3
3
2
1
0
nr
l
较低的几个根见表
较低的几条能级见图