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第五章 数理统计的基础知识
§5.1 数理统计的基本概念
定义1 统计学中称随机变量(或向量)X为总体, 并把随机变量(或向量)的分布称为总体分布.注: ①有时个体的特性的直接描述并非是数量指标, 但是总可以将其数量化, 如检验某学校全体学生的血型, 试验的结果有O型,A型,B型,AB型4种, 若分别以1,2,3,4依次记这4种血型, 则试验的结果就可以用数量表示了.
总体的分布一般来说是未知的, 有时即使知道其分布的类型(如正态分布, 二项分布等), 但不知这些分布中所含的参数等(如m,s2,p等). 数理统计的任务就是要通过对总体X进行一系列的独立的同环境下的随机试验, 获得一系列的试验值, 用这些试验值来对X的分布或参数进行统计推断.
二, 样本与样本分布要研究总体X, 就要对X进行一系列的独立试验, 通常进行n次试验, 这样,将n次试验组合成一个试验, 又可以试验多次, 因此, n次试验相当于根据总体X产生了和总体的分布完全一样的, 相互独立的n个随机变量X1,X2,,Xn, 称它们是总体X的样本; 而每n次试验的一个结果产生n个数x1,x2,,xn称为样本观察值或者样本值, n被称为样本容量(或样本大小).
三, 统计推断问题简述(略)四, 分组数据统计表和频率直方图(略)五, 经验分布函数(略)
六, 统计量为了由样本推断总体, 需构造一些合适的统计量, 再由这些统计量来推断未知总体. 这里, 样本的统计量即为样本的函数. 广义地讲, 统计量可以是样本的任一函数, 但由于构造统计量的目的是为推断未知总体的分布, 故在构造统计量时, 就不应包括总体的未知参数.
定义3 设X1,X2,,Xn为总体X的一个样本, 称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量.注: 当样本X1,X2,,Xn未取一组具体样本值时, 统计量用大写字母表示; 当样本X1,X2,,Xn取一组具体的样本值x1,x2,,xn时, 统计量用小写字母表示.
§5.2 常用统计分布
一, 分位数设随机变量X的分布函数为F(x), 对给定的实数a(0
a
ua
O
x
j(x)
若实数Ta满足不等式P{|X|>Ta}=a,则称Ta为X分布的水平a的双侧分位数.
a/2
ua/2
O
x
j(x)
a/2
-ua/2
例1 设a=0.05, 求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.解 由于F(u0.05)=1-0.05=0.95,查标准正态分布函数表可得u0.05=1.645.而水平0.05的双侧分位数为u0.025, 它满足F(u0.025)=1-0.025=0.975,查表得u0.025=1.96.注: 今后, 分别记ua与ua/2为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数.
二, c2分布定义1 设X1,X2,,Xn是相互独立服从标准正态分布的随机变量, 则称统计量
服从自由度为n的c2分布, 记为c2~c2(n).这里, 自由度是指(2.1)式右端所包含的独立变量的个数.
c2(n)分布的概率密度:
其中G()为gamma函数, 定义为
n=6
n=2
n=4
n=1
n=11
2
4
6
8
10
12