第二章 运动学
§2-3 质点运动的坐标描述II
3.3 自然坐标系
3.1 平面极坐标
3.2 圆周运动,角速度和角加速度
作业:2-8,2-12,2-14
§2-3 质点运动的坐标描述Ⅱ
3.1 平面极坐标
极坐标中的位矢
极轴
径向单位矢量
横向单位矢量
极坐标中的位矢
径向单位矢量
横向单位矢量
平面极坐标系中的运动描述
极坐标中的速度
极轴
角量的单位为 rad, rad/s, rad/s2.
瞬时角速度
将 , 代入上式
结论:极坐标系中速度及加速度与直角坐标系
不同,它的分量并非单纯是由该方向的位矢分量及其变化所引起.
例如,径向加速度 ar 不仅与径向 r 的二阶
导数有关,还与横向分量θ的一阶导数有关.
例2-4 湖面上有一条小船,在岸边高崖上的船夫通过绞车以匀速率V 收绳将船拉向岸边,如图所示.若绳子的质量可以忽略,问(1)船的速度u比收绳速率V大还是小 (2)船的加速度如何
解:选取绞车处为极点小船速度u在极坐标系中的分解如图所示.
小船的极径 r不断减小,且其径向速度的绝对值就是收绳速率V,即
船的加速度:
极坐标中径向加速度为:
例2.5 设一根细棒在水平面内以恒定的角速度ω绕棒
的顶点O旋转,有一只蚂蚁从t = 0时刻开始从O点出发并
以恒定的速率u沿细棒向外爬行,求蚂蚁的速度及加速度.
分析 尽管蚂蚁的运动轨迹十分复杂,但由于已知它
相对于O点的距离变化及相对于O点的运动方向的变化
(即转动),利用极坐标可较方便地求出蚂蚁的速度.
解 蚂蚁离极点O的距离就是r,
由于蚂蚁沿棒以u作匀速运动,
即径向速度 极径r = ut ;
o
棒以角速度ω绕O旋转,即r0的

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