5.2 简并定态微扰论
除一维束缚态外,一般情况下能级均有简并.简并微扰比非简并微扰更具普遍性.
假定 的第 个能级 有 度简并,即对应于 有 个本征函数 .现在的问题是,我们不知道在这 个本征函数中应该取哪一个作为微扰的本征函数.因此,简并微扰的首要问题是:如何选择适当的零级波函数进行微扰计算.
设 的本征方程是
(5.2.1)
5.2 简并定态微扰论
归一化条件为
的本征方程是
由于 是完备系,将 按 张开后,得
(5.2.2)
则 的本征方程是
(5.2.3)
5.2 简并定态微扰论
以 左乘上式,对全空间积分后,有
(5.2.4)
其中
按照微扰论的精神,将 的本征值和在 表象中的本征函数 按 的幂级数做微扰展开:
(5.2.5)
(5.2.6)
5.2 简并定态微扰论
将展开式代入(5.2.4)式有:
(5.2.7)
比较 的系数,给出
(5.2.8)
5.2 简并定态微扰论
如果讨论的能级是第 个能级,则
(5.2.9)
即
(5.2.10)
是一个待定的常数.在由一级近似的薛定谔方程得
(5.2.11)
(5.2.12)
当 时,得能级的一级修正为
5.2 简并定态微扰论
为书写方便,记同一能级 中,不同简并态 之间的矩阵元 为 ,则上式可写为:
(5.2.13)
上式是一个以系数 为未知数的线性方程组,它有非零解的条件为:
(5.2.14)
这是个 次的久期方程.由这个久期方程可以解出 的 个根 ,将这 个根代入线性方程组,可得出相应的 组解 ,从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,他们分别为:
5.2 简并定态微扰论
(5.2.15)
(5.2.16)
由此可见,新的零级波函数实际上是原来第 个能级上的各简并本征函数的线性叠加.
下面我们对上述结果作一些说明:
前面讨论过,简并来自对守恒量的不完全测量.由上式可见,无微扰的能级 经微扰后裂为 条.它们的波函数由各自相应的 表示.这时简并完全消失.
5.2 简并定态微扰论
经过重新组合后的零级波函数 彼此正交,满足
(5.2.17)
简并微扰法的重要精神在于:重新组合简并态的零级波函数,使得 在简并态所构成的子空间中对角化.在这样处理后,能级修正公式
(5.2.18)
与非简并微扰公式完全相同.
5.2 简并定态微扰论
在非简并情况下,由一级微扰确定一级波函数和能量修正,二级微扰来确定二级波函数和能量修正,但在简并微扰情况下,由一级微扰确定零级近似波函数和一级能量修正,二级微扰确定一级近似波函数和二级能量修正.