3. 2. 1 古 典 概 型
概 率 初 步
温故而知新
1,随机现象
事前不能完全确定,事后会出现各种可能结果 之一的现象.
2,随机试验(简称"试验")
有的试验,虽然一次试验的结果不能预测,但一切可能出现的结果却是可以知道的,这样的观察称为随机试验.
3,样本空间Ω
一个随机试验的一切可能出现的结果构成的集合.
4,随机事件(简称"事件")用A,B,C等表示
样本空间的任一个子集.
5,基本事件ω
样本空间的元素(随机试验每一个可能出现的结果)
概 率 初 步
考察下列现象,判断那些是随机现象,如果是随机试验,则写出试验的样本空间
1,抛一铁块,下落.
2,在摄氏20度,水结冰.
3,掷一颗均匀的骰子,其中可能出现的点数为 1, 2, 3,4,5,6.
4,连续掷两枚硬币,两枚硬币可能出现的正反面的
结果.
5,从装有红,黄,蓝三个大小形状完全相同的球的
袋中,任取两个球,其中可能出现不同色的两个
球的结果.
分析例3,4,5的每一个基本事件发生的可能性
概 率 初 步
3,掷一颗均匀的骰子,它的样本空间为:
Ω={1,2,3,4,5,6}
它有6个基本事件,即有6种不同的结果,由于骰子 是均匀的,所以这6种结果的机会是均等的,于是,掷一颗均匀的骰子,它的每一种结果出现的可能性都是 .
概 率 初 步
古 典 概 型
我们会发现,以上三个试验有两个共同特征:
(1)有限性:在随机试验中,其可能出现的结果有有
限个,即只有有限个不同的基本事件;
(2)等可能性:每个基本事件发生的机会是均等的.
我们称这样的随机试验为古典概型.
1,古典概型
概 率 初 步
古 典 概 率
一般地,对于古典概型,如果试验的基本事件为n,
随机事件A所包含的基本事件数为m,我们就用
来描述事件A出现的可能性大小,称它为事件A的概
率,记作P(A),即有
我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率.
2,古典概率
注意: A即是一次随机试验的样本空间的一个 子集,而m是这个子集里面的元素个数;n即是一次随机试验的样本空间的元素个数.
概 率 初 步
古 典 概 率
显然,
(1) 随机事件A的概率满足
0≤P(A)≤1
(2)必然事件的概率是1,不可能的事件的概率是0,即
P(Ω) =1 , P(Φ) =0.
如:
1,抛一铁块,下落.
2,在摄氏20度,水结冰.
是必然事件,其概率是1
是不可能事件,其概率是0
3,概率的性质
概 率 初 步
例 题 分 析
1,掷一颗均匀的骰子,求掷得偶数点的概率.
分析:先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间Ω和掷得偶数点事件A,再确定样本空间元素的个数n,和事件A的元素个数m.最后利用公式即可.
解:掷一颗均匀的骰子,它的样本空间是
Ω={1, 2,3, 4,5,6}
∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4,6}
∴m=3
∴P(A) =
概 率 初 步
例 题 分 析
2,从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次
任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,求取
出的两件中恰好有一件次品的概率.
分析:样本空间 事件A 它们的元素个数n,m
公式
解:每次取一个,取后不放回连续取两次,其样本空间是
Ω={ }
(a,b),
(a,c),
(b,c)
∴n = 3
用A表示"取出的两件中恰好有一件次品"这一事件,则
A={ }
(a,c),
(b,c)
∴m=2
∴P(A) =2/3
概 率 初 步
例 题 分 析
3,从含有两件品a,b和一件次品c的三件产品中每次任
取1件,每次取出后放回,连续取两次,求取出的 两件中恰好有一件次品的概率.
解:有放回的连取两次取得两件,其一切可能的结 果组成的
样本空间是
Ω={ }
(a,a),
(a,b),
(a,c),
(b,b),
(b,c),
(c,c)
∴n=6
用B表示"恰有一件次品"这一事件,则
B={ }
(a,c),
(b,c)
∴m=2
∴P(B) =2/6=1/3
概 率 初 步
练 习 巩 固
2,从1,2, 3,4, 5五个数字中,任取两数,求两数
都是奇数的概率.
解:试验的样本空间是
Ω={(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)}
∴n=10
用A来表示"两数都是奇数"这一事件,则
A={(13),(15),(3,5)}
∴m=3
∴P(A)=
概 率 初 步
练 习 巩 固
3,同时抛掷1角与1元的两枚硬币,计算:
(1)两枚硬币都出现正面的概率是
(2)一枚出现正面,一枚出现反面的概率是
0.25
0.5
4,在一次问题抢答的游戏,要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案.某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案,则这个答案恰好是正确答案的概率是
0.25
5,做投掷二颗骰子试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一
颗骰子出现的点数,y表示第二颗骰子出现的点数,求:
(1)事件"出现点数之和大于8"的概率是
(2)事件"出现点数相等"的概率是
概 率 初 步
练 习 巩 固
6, 在掷一颗均匀骰子的实验中,则事
件Q={4,6}的概率是
7,一次发行10000张社会福利奖券,其中有1
张特等奖,2张一等奖,10张二等奖,100
张三等奖,其余的不得奖,则购买1张奖
券能中奖的概率
概 率 初 步
小 结 与 作 业
一,小 结:
1,古典概型
(1)有限性:在随机试验中,其可能出现的结果有有
限个,即只有有限个不同的基本事件;
(2)等可能性:每个基本事件发生的机会是均等的.
2,古典概率
二,作 业:
P 123 习题1, 2, 3 P127 习题 2
概 率 初 步
思 考
1,在10支铅笔中,有8支正品和2支次品.从中任
取2支,恰好都取到正品的概率是
2,从分别写上数字1, 2,3,…,9的9张卡片中,
任取2张,则取出的两张卡片上的"两数之和为
偶数"的概率是
答案:(1)
(2)
例3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去,
求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限).
解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
而每个盒子中至多放一只球, 共有
此例可以作为许多问题的数学模型,比如用此公式可以得出:
"在一个有64人的班级里,至少有两人生日相同"的概率为 99.7%.
n
1-p
20 23 30 40 50 64 100
0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
经计算可得下述结果:
例4 _ 从0,1,2,3,4,5,6这七个数中,任取4个组成四位数,求:
(1)这个四位数是偶数的概率;
(2)这个四位数能被5整除的概率.
例 4 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球,2 只
红球.从袋中取球两次,每次随机的取一只.考
虑两种取球方式:
放回抽样 第一次取一只球,观察其颜色后放
回袋中, 搅匀后再取一球.
不放回抽样 第一次取一球不放回袋中,第二
次从剩余的球 中再取一球.
分别就上面两种方式求:
1)取到的两只都是白球的概率;
2)取到的两只球颜色相同的概率;
3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件.
设 A= " 取到的两只都是白球 ",
B= " 取到的两只球颜色相同 ",
C= " 取到的两只球中至少有一只是白球".
有放回抽取:
无放回抽取:
例 5 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去,
这15 名新生中有 3 名是优秀生.问:
(1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少
解:15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为:
(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级,使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3! 种.其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为:
于是所求的概率为:
三名优秀生分配在同一班级内
其余12名新生,一个班级分2名,另外两班各分5名
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为:
等可能概型
Goodbye
Goodbye
Goodbye
Goodbye
小知识 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》,从那时起直到十九世纪初,人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具,发展了古典概率和几何概率范围的概念,计算及其分析性质的成果,如大数定律,贝叶斯定理,高斯分布,最小二乘法等.拉普拉斯以《分析概率论》作了总结,形成了古典的描述性统计学.十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期,二十世纪初至第二次世界大战前,由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合,使概率统计学得以正式列入数学之林,诸分支在实践中迅速产生,如在生物学研究中提出的回归分析;出自农业实验的方差分析,实验设计理论;大规模工业生产所要求的抽样检查;从道奇——洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制.等等.形成现代统计学的大部分内容.二次世界大战后,概率统计学主要在纯理论研究上取得进展.
概率统计学的形成,标志着人类的认识和实践领域,从必然现象扩展到偶然现象(随机事件),这是与从精确数学到模糊数学类似的变革,它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步,因此,它的应用十分广泛,除自然科学外,社会经济统计已成独立分支;它与其它学科结合形成了生物统计,统计预报,统计物理,计量史学等边缘学科;它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程,随机几何等理论.