一,可对角化的概念
二,可对角化的条件
§7.5 对角矩阵
三,对角化的一般方法
定义1:设 是 维线性空间V的一个线性变换,
如果存在V的一个基,使 在这组基下的矩阵为对
角矩阵,则称线性变换 可对角化.
矩阵,则称矩阵A可对角化.
定义2:矩阵A是数域 上的一个 级方阵. 如果
存在一个 上的 级可逆矩阵 ,使 为对角
一,可对角化的概念
1. (定理7)设 为 维线性空间V的一个线性变换,
则 可对角化 有 个线性无关的特征向量.
证:设 在基 下的矩阵为对角矩阵
则有
二,可对角化的条件
就是 的n个线性无关的特征向量.
反之,若 有 个线性无关的特征向量
那么就取 为基,则在这组基下 的矩阵
是对角矩阵.
2. (定理8)设 为n维线性空间V的一个线性变换,
如果 分别是 的属于互不相同的特征值
的特征向量,则 线性无关.
证:对k作数学归纳法.
当 时, 线性无关. 命题成立.
假设对于 来说,结论成立. 现设 为
的互不相同的特征值, 是属于 的特征向量,
即
以 乘①式的两端,得
②
设
①
又对①式两端施行线性变换 ,得
③
③式减②式得
由归纳假设, 线性无关,所以
但 互不相同,所以
将之代入①,得
故 线性无关.
特别地,(推论2) 在复数域C上的线性空间中,
3. (推论1) 设 为n 维线性空间V的一个线性变换,

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