关于欧氏空间中与维数相关习题处理的注记
杨忠鹏 晏瑜敏 林志兴 戴培培
莆田学院数学系
2006年12月5日
有限维线性空间是高等代数的最重要的研究对象，它是教学的重点。但是关于线性空间的不少重要定义并不是在有限维空间上定义，而是在一般情况下定义的，之后再转入以有限维线性空间为主讨论。虽然，在整体的教学过程中还是以有限维线性空间作为研究的重点，但是在教学中却又不可避免地要接触到无限维的情况。本文仅就欧氏空间中与维数相关习题的处理，谈我们的一些看法。
这里
为V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧氏空间。
当且仅当
时4）
定义1（见[1]）设V是实数域R上的一个线性空间，
在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作
，它具有以下性质：
1）
2）
3）
[1]中还以具体的实例来认识欧氏空间，这
其中就有闭区间上所有实连续函数所成空间C(a,b)，
对于函数
定义内积构成的欧氏空间。
同时也指出实数域上一元多项式R[x]对于上述
内积也构成欧氏空间。这说明教材本身也要求将
无限维的欧氏空间作为学生熟悉的对象。
这类问题的研究特点正如[1,P363]所说“在…讨论中，我们对空间的维数并没有作任何限制”，而且对有限维空间的讨论应当要具体说明。这样在将把有限维空间作为研究主体和重点的情况下，应慎重地处理和对待没有指明欧氏空间维数的问题。
定义2（见[1]）欧氏空间V的线性变换 称为正交