三、研究线性系统的基本工具 研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论.用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题,往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果.例如:系统的可控性、可观测性可反映在线性代数中线性变换的循环不变子空间及其生成元的概念中;在观测器理论中,矩阵方程扮演重要角色;系统的稳定性往往归结为对线性矩阵微分方程的讨论;………
四、线性系统研究的历史回顾 从上个世纪三十年代以来,人们就对线性系统进行了广泛的研究,起初主要是频域方法;而且,几乎所有的工作都是针对单输入单输出系统的.这种经典的控制方法一旦推广到多输入多输出系统立即显现出一系列重大缺陷,所设计出的系统甚至不能保证系统的稳定性.五十年代后期,多变量、时变系统在航空航天、过程控制、计量经济学等的应用中已经变得日益重要,特别是航空航天控制中对时变系统以及相关的时域分析的研究,促使以美国科学家Bellman和Kalman为代表的研究人员对有限维线性系统的状态空间描述方法进行了深入的研究,导致了可控性、可观测性等概念
的提出.此后,又进一步在极点配置、二次型调节器设计、状态观测器和估计器、等价系统、解耦、实现等方面先后取得了进展.1968年左右,人们发现这一领域的工作没有协调起来,很零散,一些重要的问题被忽视,于是要求对线性系统各方面工作进行统一处理.这就形成了"线性系统"这门学科.此后,线性系统理论不断得到发展,成为系统科学的基础.它的方法、概念体系己为许多学科领域所运用,是控制理论、网络理论、通讯理论以及一般系统理论的基础.现在,线性系统已成为任何与系统有关学科研究生和本科生所必修的课程.
进入70年代以后,深入的工程实践凸显出了基于模型的线性系统的局限性,即系统缺乏对参数不确定性、干扰及未建模动态等的鲁棒性(Robustness).众多的科学工作者在这个领域进行了长时间、艰苦的研究,到80年代初,在若干领域取得了一系列激动人心的突破,最典型的是加拿大学者 Zames 提出的H-infinity鲁棒控制理论,以及以前苏联数学家Kharitonov在微分方程上的贡献为基础发展起来的区间系统理论.这些都极大丰富了人们对线性系统的认识.回顾线性系统几十年的发展历程可以看到,它的每一个 进步几乎都 反映了航 空航天等尖端技术 对控制的 更高 要求, "它是那样的基本和 如此的深刻,
所以毫无疑问,在今后一个可以预见的长时间内,线性系统仍将是人们继续研究的对象"(Kailath:线性系统).
五、线性系统理论的几个流行学派
1 代数系统理论:以抽象代数为工具.主要在实现、反馈问题上取得一些成果.代表著作:R.E.Kalman: Topics In Mathmatical System Theory (1969)
2 多项式矩阵—— (稳定)分式分解方法 在复数域进行.充分应用了经典控制理论的优点.多变量频率域方法属于这一范畴.是最活跃的研究领域之一.主要著作:
H.H.Rosenbrock: State-Space and Multivariable Theory, Nelson, London.2. W.A.Wolovich: Linear Multivariable Systems (1974).3. M. Vidyasagar: Control System Synthesis:A Factorization Approach (1985), MIT Press.
3几何状态空间理论 把矩阵看成向量空间的线性映射,系统理论和空间座标选取无关,这样往往给出一些比较本质的结果,在解耦及跟踪器取得较好进展.代表著作:
W.M. Wonhan:Linear Multivariable Control:A Geometric Apporach (1978) (84年有中译本).
六、线性系统学习中应注意的几个问题注意与矩阵论的学习相结合;学习中注意与经典控制论相结合,特别要注意与经典控制论中的不同之处和相同之处;要充分认识到本课程在后续各门课程学习中的基础地位.

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