在经济学领域中, 不动点定理对经济领域中的均衡问题的研究也做出了巨大的贡献.在20世纪50年代,著名的经济学家阿罗和德布鲁利用复杂的数学工具角谷不动点定理证明了均衡的存在性问题.在这以前,1911年布劳威尔不定点定理首次提出,20世纪三四十年代瓦尔德和冯*诺伊曼和角谷(Kakutani)也对它做出了详细的证明. 不动点定理在不同市场均衡存在性的证明中有广泛的应用,关于市场均衡存在性的证明方法可以有不动点定理,序方法,线性方程组解, 博弈组合以及算子算法等,但是其中不动点定理是证明市场均衡存在的一个最为重要的方法.并且,不动点定理除了上述之外,还有其他众多的阐述 .而不动点定理既可运用到一般均衡的证明当中来,还可用来证明不完全市场均衡存在性的证明,并且可运用到不同具体市场均衡存在性的证明当中来.这仅仅是不动点理论在经济学领域中运用的不完全方面,在其他的诸多方面不动点理论还在积极发挥他的广泛的研究工具的作用,在这里无法一一列举.
以下就是一些与不动点理论运用相关的历史事件,标志着不动点理论曾经带来的辉煌与贡献.
1983年
Debreu于1983年获得了诺贝尔经济奖,Debreu是利用集值分析的方法以集值映射的不动点定理为工具证明Walras经济理论均衡理论.
1957年
Hans首先将Banach压缩映象原理随机化,以后各类不动点定理的随机化类比相继出现,但这些结果中,压缩条件一般为线性的或满足单调,右连续等条件.
1951年
Nash在1951年利用Brower不动点定理证明了混合策略平衡点必定存在,这种平衡点有称为Nash平衡点.
1950年
比如纳希于1950年在Kokutoni 不动点定理的基础上,证明了"人非零和非合作对策模型平衡点的存在性"(几乎在同一时期,阿罗和德布鲁完成了<>)
1941年
1941年角谷静天给出了集值映射的不动点定理,1959年德布鲁才能证明一般经济均衡的存在定理
1922年
1922年,巴拿赫证明了重要的不动点定理:完备的度量空间中的压缩映象必然有唯一的不动点.
2.主要概念及相关引理
数学应用与实际,要设计到解各类方程,比如代数方程,函数方程,微分方程,积分方程和泛函方程,种类繁多,一般能把他们写成的形式,这里是某个相应空间中的点,对于一个自变量情形, 称为自变量,称为函数;一般情形, 称为变换和映射,就是从空间到空间自身的一个映射,把空间的每一个点映射为空间中点.方程的解恰是在这个映射中被保留原地不动的点,称为映射中的不动点.这样解方程的问题就转化为求映射的不动点问题[12].
1.9距离空间:设是一个非空集,被称为距离空间,是指上定义了一个二元实值函数满足下列三个条件:(非负性),而且充要条件是;(对称性);(三角不等式)对于任意的中的都成立. 这里叫做上的一个距离,以为距离的距离空间记作
2.0完备距离空间: 如果距离空间中的每个基本点列(Cauchy)点列{}都收敛,则称为是完备的距离空间
2.1压缩映象原理[13] [14]:也叫Banach不动点定理,它的完整的表达是这样的,完备距离空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.
2.2布劳威尔不动点定理[9] [12]:设是欧氏空间中的紧凸集,那么到自身的每个连续映射都至少有一个不动点.
2.3莱夫谢茨不动点定理[9][16]:设莱夫谢茨不动点定理:设是紧多面体,是映射,那么的不动点代数个数等于的莱夫谢茨数L( ),它是一个容易计算的同伦不变量,可以利用同调群以简单的公式写出.当时,与同伦的每个映射都至少有一个不动点.
定义1[1] (函数的零点)函数的解.即图像与横轴的交点的横坐标
定义2函数的不动点[9]:对于函数,若存在属于,使成立,则称此点是函数的不动点.
定义3柯西收敛准则[2]:数列收敛的充要条件是:对任给的,存在正整数,使得当时有,
引理1闭区间上函数的零点定理[1]:设函数在闭区间上连续,若有或,则必存在点,使得.
3.主要结果
定理1:定义在区间上,满足:
(i)是连续函数的单调增区间,
(ii)对,存在实数,使得 ,
(iii)存在,和,使
, ,
则函数在区间上有唯一零点
证明:(存在性)令,对,因为 ,
在区间上连续,当时,,所以 .在处连续,注意的任意性,可知在上连续.从而在区间上连续.由(iii)

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