一类函数的零点和不动点问题
信息与计算科学 2003级 李胜飞
指导教师:丁体明 教授
摘 要:研究了一类连续函数的零点问题,利用闭区间上连续函数的的介质定理,证明了这类连续函数的几个新的零点的存在性和唯一性定理,并进一步用多种方法证明了一类连续函数的几个不动点的存在性和唯一性定理.
关键词:函数的零点,不动点,Cauchy 基本序列.
Zero and Fixed Point of a Class Function Problems
li Sheng-fei Information and Computing Science, Grade 2003
Directed by Ding Timing (Professor)
Abstract:Has studied a kind of continuous function zero question, On use closed interval continuous function intermediate value theorem, Has proven this kind of continuous function new zero existence and the uniqueness theorem, And further used some methods to prove kind of continuous function fixed point existence and the uniqueness theorem.
Key word: Zero of function,Fixed point,Cauchy fundamental sequence.
1.研究背景与预备知识
自然界中的许多现象,如气温的变化,河水的流动,植物的生长等等,都是连续变化的,这些现象在数学上的反映,就是函数连续的概念.函数的连续性就是函数概念和极限概念相结合的产物.它是高等数学中基本概念之一.连续函数是一类最重要的函数,这类函数在一般函数的研究中起到奠基的作用,在实际应用中也最为常见.函数零点的研究是函数研究的一个重要方面,许多代数方程的求根问题,就是归结为函数的零点问题.本文一方面研究了一类连续函数的零点问题,利用闭区间上连续函数的零点定理,证明了这类连续函数的两个新的零点的存在性和唯一性定理.另一方面,作为零点问题的特例,同时还用泛函分析的知识,从不同角度研究了函数的不动点问题,证明了这类连续函数的几个新的不动点的存在性和唯一性定理.
众所周知,现代数学的基础,数学界公认为包括拓扑学,泛函分析和抽象代数三大部分,它们是高等代数学中几何,分析和代数三大分支的新发展.本文研究的连续函数的零点和不动点的存在性和唯一性就是包含于其中的一个简单定理.
不动点理论产生于拓扑变换理论中,且在分析学中有重要应用的一门抽象数学理论.它是20世纪一个格外引人注目的数学分支,当时人们开始把微分方程的解看作是巴拿赫空间到自身映射的不动点,得出了基本的理论结果.在这一时期, 不动点定理作为数学科学中的主流课题,许多重要的数学成果都是借助于它而获得.在1957年,Altman M A发表了著名的Altman 定理,参考文献[1],建立了关于全连续算子的不动点定理,以后的许多学者相继将这一定理做了进一步的推广,将一些条件进一步的放宽也都得到了相应的不动点定理.从而不动点理论得到了进一步发展,开始走向理论的多元化,运用在各个方面.
不动点理论一直是一个既比较古老的问题,又比较有新生命力的领域,它的历史悠久,却又是近现代一个发展较快的理论定理.其一直是研究泛函微分系统和经济领域中的均衡问题的一个重要工具,对泛函系统的解的存在性和唯一性以及均衡的存在性的研究具有重要的理论价值.而在非线性分析中不动点理论也一直是其中的一个重要方法,在解决这类问题时,常常将微分方程转化为等价的积分方程,然后用不动点理论来解决,这样可以既简单又方便的加快解题的效率,为我们的研究者节约大量的时间和精力.另一个不动点理论运用的方面,那就是泛函微分系统的周期解,这个问题解决的方法还有重合度理论,傅立叶级数等等,其中不动点理论是解决这类中立型泛函微分方程的解的存在性或唯一性的重要定理.
在数学领域内,不动点定理在泛函微分系统中广泛深入的应用,成为其研究相关问题的一个重要工具.近现代利用不动点理论建立起来的有关三个不动点理论是数学家Leggett-Williams引如的Leggett-Williams的不动点理论,参考文献[2]和R.I.Avery分别建立的不动点理论,参考文献[5],中以2001年R.I.Avery和A.C.Peterson利用新的R.I.Avery不动点理论,研究了离散的二阶非线性差分方程的边值问题以及2004年Zhangbing Bai , Yifu Wang和Weigao Ge,运用新的R.I.Avery不动点定理研究了二阶非线性常微分方程的边值问题最具有代表性.

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