两个总体比率的大样本假设检验
设两独立样本和分别取自0-1分布总体和(总体均值记为和),样本均值分别为,.
如果我们要做双侧检验:,在大样本情况下可选 (这里)为检验统计量,由中心极限定理知,它在成立时近似服从.所以检验的P值近似为,其中为检验统计量的观测值.
甲,乙2公司属于同一行业,有人问这2个公司的工人是愿意得到特定增加的福利费,还是愿意得到特定增加的基本工资.在甲公司150名工人的简单随机样本中,有75人愿意得到增加基本工资;在乙公司200名工人的随机样本中,120人愿意得到增加的基本工资.在每个公司,样本容量占全部工人数的比率不超过5%.试问:可以判定这2个公司中愿意增加基本工资的工人所占比例不同吗 (=0.05)
解:建立假设
现在是大样本情形,检验统计量为(这里),它在成立时近似服从.
由样本观测值知,,,
,,
所以检验的P值近似为.
由于,所以不拒绝原假设,即没有充分理由认为这2个公司中愿意增加基本工资的工人所占比例不同.
有时我们要检验两个总体比率之差是否为某一个不为0的常数,即要检验假设:
,
在大样本情况下可选 为检验统计量,由中心极限定理知,它在成立时近似服从.所以检验的P值近似为,其中为检验统计量的观测值.
某厂质量检验人员认为该厂一车间的产品一级品的比率比二车间产品一级品的比率大5%.现从一车间和二车间分别抽出2个独立随机样本,得到如下数据:,其中一级品数为113;,其中一级品为104.试根据这些数据检验质量研究人员的观点.(设)
解:建立假设
检验统计量为
,
它在成立时近似服从.
由观测值可知,,,于是检验统计量的观测值为.这是右侧检验,所以检验的P值近似为
.
因为,故不拒绝原假设,即现有数据不足以支持该厂质量检验人员的观点.
单个总体比率的精确检验
上面讨论的都是大样本情形下的近似检验.事实上,在实际工作中,只要知道总体的分布类型,我们就完全有能力利用计算机强大的计算功能或直接应用统计软件考虑精确的检验方法,下面以单个总体比率的检验为例.
设样本取自0-1分布总体,对右单侧检验问题:, 检验统计量我们可以选为 ,它在时服从.所以检验的P值为,其中为检验统计量的样本观测值.这是单个总体比率的精确检验方法,大小样本都适合!
某地区主管工业的负责人收到一份报告, 该报告中说他主管的工厂中执行环境保护条例的厂家不足60%, 这位负责人认为应不低于60%, 于是他在该地区众多的工厂中随机抽查了60个厂家, 结果发现有33家执行了环境条例, 那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题()
解:这位负责人想知道真正的比率是否少于60%,这是一个左侧检验问题:
法一:由于,而且,可以用正态分布进行检验.检验统计量为或,它们在时都近似服从.
现在,检验统计量和的样本观测值分别为和.检验的P值近似为或.
因为检验的P值都大于显著性水平0.05,故不拒绝,即没有充分理由认为遵守法则的工厂的比率不足60%.尽管观察的样本比率小于60%,但它并未显著地低于60%.
法二:采用单个总体比率的精确检验方法.检验统计量为 ,它在时服从.
现在的样本观测值为,故检验的P值为.
因为检验的P值大于显著性水平0.05,故不拒绝,结论与法一同.
某厂生产的产品次品率为10%.近期抽查20件,发现次品有4件之多.试问:在下能否认为次品率仍为10%
解:这是关于次品率的右侧检验问题:
由于是小样本,采用精确检验方法.检验统计量为 ,它在时服从.
现在的样本观测值为,故检验的P值为
.
因为,故不拒绝,还没有充分理由认为次品率上升.
注:如果用一般教材上求拒绝域的办法,这个问题讨论起来将不是太方便!

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