§7.4 一般总体均值的假设检验
一般总体均值的大样本假设检验
一个总体均值的大样本假设检验
设样本取自非正态总体,记总体均值.样本均值及样本方差分别为,.
如果我们要做双侧检验:,在大样本情况(样本容量)下可选 为检验统计量,由中心极限定理知,它在成立时近似服从.检验的P值近似为,其中检验统计量的观测值为 .
一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm.生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期降低误差.为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低,从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验.50个零件尺寸的绝对误差数据(mm)如下所示:
1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08 1.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86
利用这些数据,检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低 ()
解:这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低,也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望是否小于1.35,因此属于单左侧检验.提出的假设如下:
现在,检验统计量可选为 ;
由数据得: ,,故检验统计量的观测值为,所以检验的P值近似为
.
因为,应拒绝原假设,可认为新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比有显著降低.
注:本例也可以直接根据原始数据计算检验的P值,操作步骤如下:
第1步:进入Excel表格界面,直接点击"f(x)"(粘贴函数)命令.
第2步:在函数分类中点击"统计",并在函数名菜单下选择"ZTEST",然后确定.
第3步:在所出现的对话Array框中,输入原始数据所在区域;在X后输入参数的某一假定值(这里为1.35);在Sigma后输入已知的总体标准差(若总体标准差未知则可忽略不填,系统将自动使用样本标准差代替),如下图所示.
图7.2.2
此时给出的分布右侧面积为0.995421058,用1减去该值,即为左侧检验的P值,即.
两个总体均值的大样本假设检验
设两独立样本和分别取自非正态总体和(总体均值记为和),它们的样本均值分别为,,样本方差分别为,.
如果我们要做双侧检验:,在大样本情况下可选 为检验统计量,由中心极限定理知,它在成立时近似服从.检验的P值近似为,其中为检验统计量的观测值.
一个随机样本由居民一区的100个家庭组成,另一随机样本由居民二区的150个家庭组成,这两个样本所给出的关于目前住房中居住了多长时间的信息如下:个月, 个月,,.这些数据是否提供了充分的证据,说明一区家庭在目前住房中居住的时间平均来说比二区家庭短 (设)
解:建立假设

本题的样本容量足够大,,,检验统计量为
其样本观测值为.此题属于左侧检验,检验的P值近似为,故拒绝,接受,即说明一区家庭在目前住房的时间平均来说比二区家庭短.
总体比率的假设检验
单个总体比率的大样本假设检验
设样本取自0-1分布总体,总体均值.样本均值为.
如果我们要做双侧检验:,在大样本情况(且)下可选 或为检验统计量,由中心极限定理知,它们在成立时都近似服从.所以检验的P值近似为或,其中和分别为检验统计量和的观测值.
某企业的产品畅销于国内市场.据以往调查,购买该产品的顾客有50%是30岁以上的男子.该企业负责人关心这个比例是否发生了变化(无论是增加还是减少) 于是委托一家咨询公司进行调查,这家咨询机构从众多的购买者中随机抽选了400名进行调查,结果有210名为30岁以上的男子.该厂负责人希望在显著性水平下检验"50%的顾客是30岁以上的男子"这个假设.
解:提出假设:

由于样本容量,且,所以可以使用正态分布进行检验.检验统计量为或,它们在成立时都近似服从.
现在,检验统计量和的样本观测值分别为和.
检验的P值近似为或.
因为检验的P值都大于显著性水平0.05,故不拒绝,即没有充分理由认为比例发生了变化.

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