任意角的三角函数(一)

§4.3.1 任意角的三角函数(一)
●教学目标
(一)知识目标
1.任意角三角函数的定义.
2.三角函数的定义域.
(二)能力目标
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦,余弦,正切函数的定义域.
(三)德育目标
使学生通过任意角三角函数的定义,认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,加深特殊与一般关系的理解.
●教学重点
1.任意角三角函数的定义.
2.正弦,余弦,正切函数的定义域.
●教学难点
正弦,余弦,正切函数的定义域.
●教学方法
讲授法
1.通过三角函数定义的变化:从锐角三角函数到任意角三角函数,由边的比变为坐标与距离,坐标与坐标,距离与坐标的比,使学生在理解掌握定义的基础上,加深特殊与一般关系的理解.
2.通过对定义的剖析,使学生对正弦,余弦,正切函数的定义域有比较深刻的认识,达到突破难点之目的.
●教具准备
幻灯片2张:
第一张:课本P13图4—10(记作4.3.1 A)
第二张:本课时教案后面的预习提纲(记作4.3.1 B)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师:在初中我们学习了锐角三角函数,它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的,在这个基础上,今天我们来研究任意角的三角函数(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
师:对于锐角三角函数,我们是在直角三角形中定义的,今天,对于任意角的三角函数,我们利用平面直角坐标系来进行研究.
设α是一个顶点在原点,始边在x轴非负半轴上的任意角(这点应该给学生强调清楚,课本上未做强调是不妥的),α的终边上任意一点P的坐标是(x,y) (非顶点).它与原点的距离是(打出幻灯片4.3.1 A)
注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与x轴的非负半轴重合.
(2)OP是角α的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角α是任意的.
(3)角α的终边只要不落在坐标轴上,就只能是如图所示四种位置中的一种.
(4)角α的终边不是不能落在坐标轴上,而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形,我们将在研究问题的过程中对其进行讨论.
那么,(1)比值叫做α的正弦,记作sinα,即
(2)比值叫做α的余弦,记作cosα,即
(3)比值叫做α的正切,记作tanα,即
(4)比值叫做α的余切,记作cotα,即
(5)比值叫做α的正割,记作secα,即
(6)比值叫做α的余割,记作cscα,即
根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上确定的角α,上述六个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点P的横坐标x都为0,所以tanα,secα无意义;当角α的终边在横轴上时,即α=kπ(k∈Z)时,终边上任意一点P的纵坐标y都为0,所以cotα,cscα无意义,除此之外,对于确定的角α,上面的六个比值都是惟一确定的实数,这就是说,正弦,余弦,正切,余切,正割,余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
以上六种函数,统称为三角函数.
注意:(1)sinα是个整体符号,不能认为是"sin"与"α"的积.其余五个符号也是这样.
(2)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数,并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外),即函数的定义与α的终边位置无关.
(3)比值只与角的大小有关.
师:我们已经给出了任意角三角函数的定义,请同学们考虑并比较一下,我们给出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义,有什么联系与区别 
生甲:任意角的三角函数就包含锐角三角函数,实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例.
生乙:所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离,坐标与坐标,距离与坐标的比来定义的.
(学生不可能一下子回答得准确,完整,必要时,教师应给予一定的引导,启示).
师:两位同学回答得很好,即正弦函数值是纵坐标比距离,余弦函数值是横坐标比距离,(其余的由学生说出)……
生:正切函数值是纵坐标比横坐标,余切函数值是横坐标比纵坐标,正割函数值是距离比横坐标,余割函数值是距离比纵坐标.
师:为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与x轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
师:由于角的集合与实数集R之间是一一对应的,所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.我们知道,函数有三个要素,即定义域,值域,对应法则,下面我们就来研究正弦,余弦,正切函数的定义域,值域问题待后再作研究.
对于正弦函数,因为r>0,所以恒有意义,即α取任意实数,恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数,因为x=0时,无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是.
(由学生填写下表)
三角函数
定义域
sin
R
cos
R
tan
{|}
Ⅲ.例题分析
[例1]已知角α的终边经过点P(2,-3)(如图),求α的六个三角函数值.
解:∵x=2,y=-3
∴
于是

[例2]求下列各角的六个三角函数值.
(1)0 (2)π (3)
解:(1)因为当α=0时,x=r,y=0,所以
sin0=0 cos0=1
tan0=0 cot0不存在
sec0=1 csc0不存在
(2)因为当α=π时,x=-r,y=0,所以
sinπ=0 cosπ=-1
tanπ=0 cotπ不存在
secπ=-1 cscπ不存在
(3)因为当时,x=0,y=-r,所以
不存在
不存在
Ⅳ.课堂练习
课本P19练习1,2,3.
Ⅴ.课时小结
本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦,余弦,正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离,坐标与坐标,距离与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.
Ⅵ.课后作业
一,课本P20习题4.3 3,4,5.
(作业说明,解答4,5题时,解答过程中将三角函数值直接写入计算过程即可).
二,1.预习P17～P19
2.预习提纲(打出幻灯片4.3.1 B)
(1)各种三角函数值在各象限的符号怎样易记请寻求方法.
(2)公式一的作用是什么怎样记忆公式 
(3)若证明A是B的充要条件,那么
从AB是证明了命题的性;
从BA是证明了命题的性.
若证明A的充要条件是B,那么
从AB是证明了命题的性;
从BA是证明了命题的性.
●板书设计
§4.3.1 任意角的三角函数正弦,余弦,正切函数的定义域
定义……
注意①… 例1 练习
②…
③… 例2 小结
●备课资料
《高中数学的内容,方法与技巧》
思考题:
1.若点P(-3,y)是角α终边上一点,且,则y的值是 .
答案:
2.已知角θ的终边上一点P的坐标是(x,–2)(x≠0),且,求sinθ和tanθ的值.
分析:,又,即rx=3x
由于x≠0,∴r=3 ∴x2+4=9 x2=5,x=±.
当x=时,P点的坐标是(,-2).
当x=-时,P点的坐标是(-,-2)
.
答案:当x=时,
当x=–时,
●教学后记

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