习题五
5.1 设各个加数的取整误差为().因为 ～,所以 , ().
设取整误差的总和为 ,因为数值很大,由定理可知,这时近似有 ～ ,其中,, .
所以,取整误差总和的绝对值超过5的概率为
≈
.
5.2 因为 ()的概率密度为 ,所以
,
.
由中心极限定理(定理)可知,这时近似有 ～ ,其中,,, .
所以,
≈≈≈ .
5.3 设是第页印刷错误的个数,已知～,,,它们相互独立,由习题3.15可知,普阿松分布有可加性,所以,300页书的错误总数 ～.
直接用普阿松分布计算,则有
.
下面用独立同分布中心极限定理近似计算.
因为～,,独立同分布,,,,根据独立同分布中心极限定理,可认为 近似服从正态分布,其中 , .
所以
≈
≈≈ .
5.4 设是第个电子器件的寿命,已知～,,它们独立同分布,,,.
根据独立同分布中心极限定理,可认为 近似服从正态分布,其中 , .
所以
≈
≈≈ .
5.5 设是起作用的部件数 ,～,当比较大时,近似有～.
(1),,,,.
整个系统要能可靠地工作,至少要有 个部件起作用,
所以,这时系统能可靠地工作的概率等于
≈ ≈ ;
(2)设至少需要个部件,,.
这时系统能可靠地工作的概率等于
≈=
≈
( 因为本题中很大,的值远远超过了,所以可以认为 ≈ ) .
要 ,查表可得,即≈ ,
即如果整个系统可靠性要达到,它至少需要由个部件组成.
5.6 设是每一盒中的废品数,～,,,.
由于很大,近似有～,其中,.
废品数不超过5个的概率
≈≈
≈ .
5.7 设是要使用外线的分机数,～,,,.
近似有 ～,其中 , .
设是需要设置的外线数.根据题意,各个分机通话时有足够的外线可供使用,即 的概率要大于90%,即要有
≈ .
查表可得 ,解得 ≈,大于它的最小整数是,所以,需要设置条外线.
5.8 设是死亡的人数,～,, ,.近似有 ～,,.
保险公司的净获益为 .
(1)当 ,即 时,保险公司在此项保险中亏本,其概率为
≈≈≈ ;
(2)若要 ,必须有 ,这时,概率为
≈≈≈ .
5.9 设要检查个产品,是其中的次品数,～, ,.近似有 ～,, .
当时这批产品不被接受,所以,产品不被接受的概率为
≈
≈
( 因为本题中很大,的值远远超过了,所以可以认为 ≈ ) .
现在要,查表可得,即有
.
这是一个关于的一元二次不等式,解这个不等式,得到 或 ,但不可能小于负值,所以只有,平方后得到
,
大于的最小整数是,即只要检查个产品即可达到要求.
5.10 设要掷次硬币,是掷出的正面数,～, ,,, .
(1)用切比雪夫不等式估计.
.
现在要 ,即要有 .用切比雪夫不等式估计,需要掷次.
(2)用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计.
因为～,近似有～,, .
≈
.
现在要 ,即要有,查表可得 ,即有 .大于的最小整数是,
用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计,只要掷次就可以了.