选修4-5《不等式选讲》教学要求解读(仅供参考) 尤溪一中 姜志茂 一、课程目标解读 《普通高中数学课程标准》对不等式的处理分为两个部分:一是必修模块数学5第三章不等式,内容包括不等关系,一元二次不等式,二元一次不等式组与简单线性规划问题,基本不等式.通过这一章的教学,使学生感受到在现实世界中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握解决不等式(组)问题的基本方法,并能解决一些实际问题;使学生初步体会数学在解决优化问题中的作用,认识数学的应用价值,从而培养学生解决简单实际问题的能力,发展学生的数学应用意识. 二是选修系列4-5专题不等式选讲,内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、数学归纳法与不等式. 通过本专题的教学,使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系都是基本的数学关系,它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用;使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景,以加深对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力. 二、教材内容分析 作为一个选修专题,虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块,教材内容仍以初中知识为起点,在内容的呈现上保持了相对的完整性.整个专题内容分为四讲,结构如下图所示: 第一讲是"不等式和绝对值不等式",为了保持专题内容的完整性,教材回顾了已学过的不等式6个基本性质,从"数与运算"的思想出发,强调了比较大小的基本方法.回顾了二元基本不等式,突出几何背景和实际应用,同时推广到n个正数的情形,但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式. 对于绝对值不等式,借助几何意义,从"运算"角度,探究归纳了绝对值三角不等式,并用代数方法给出证明.通过讨论两种特殊类型不等式的解法,学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法,而不是系统研究. 第二讲是"证明不等式的基本方法",教材通过一些简单问题,回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法,反证法、放缩法.其中,用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容.这些方法大多在选修2-2"推理与证明"已经学过,此处再现也是为了专题的完整性,对于新增的放缩法,应通过实际实际例子,使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法,比如舍掉或加进一些项,在分式中放大或缩小分子或分母,应用基本不等式进行放缩等(见分节教学设计).本讲内容也是本专题的一个基础内容. 第三讲是"柯西不等式和排序不等式".这两个不等式也是本专题实质上的新增内容,教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用.其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点.事实上,柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用,二者同样重要,在某些问题中,异曲同工.比如课本P41页,习题3.2 已知,且,求证. 排序不等式只作了解,建议在老师指导下由学生阅读自学,了解教材中展示的"探究——猜想——证明——应用"的研究过程,初步认识排序不等式的有关知识. 第四讲是"数学归纳法证明不等式".数学归纳法在选修2-2中也学过,建议放在第二讲,结合放缩法的教学,进一步理解"归纳递推"的证明.同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用. 三、教学目标要求 1.不等式的基本性质 掌握不等式的基本性质,会应用基本性质进行简单的不等式变形. 2.含有绝对值的不等式 理解绝对值的几何意义. 理解绝对值三角不等式:, 会解绝对值不等式:,, 会解绝对值不等式:, 3.不等式的证明 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法 4.几个著名的不等式 (1)认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,会用二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值. (2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用. (3)了解n个正数的均值不等式,n维柯西不等式,排序不等式,贝努利不等式 5.利用不等式求最大(小)值 会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值. 6.数学归纳法与不等式 了解数学归纳法的原理及其使用范围;会用数学归纳法证明简单的不等式. 会用数学归纳法证明贝努利不等式:,(x>-1,n为正整数). 四、教学重点难点 1、本专题的教学重点:不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用;用比较法、分析法、综合法证明不等式;柯西不等式及其应用、排序不等式; 特别是以下三点在教学中应当有所侧重: (1)绝对值不等式. a)理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式的几何意义及取等号的条件:,,, b)掌握求解以下绝对值不等式的解法(三种解法) ,,, (2)不等式的证明: 比较法、综合法、分析法. 求差求商比较的基本方法步骤,包括因式分解,配方,定号,指数运算,对数运算,函数单调性等.综合法强调将问题进行合理变形转换,使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题.分析法要强调书写步骤的合理性,注意逻辑上的充分条件,步步可逆不是指等价. (3)用均值不等式、柯西不等式求最值 会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值. 2、本专题的教学难点:三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法;用反证法,放缩法证明不等式;运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等. 五、教学总体建议 1、回顾并重视学生已学知识 学习本专题,学生已掌握的知识有: 第一、初中课标要求的不等式与不等式组 (1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质. (2)解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集.解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集. (3)根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题 第二、高中必修5不等式内容: (1)不等关系.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题. (4)基本不等式及其应用(求最值). 第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容. 回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识,可适当指导学生阅读自学,设置梯度恰当的习题,采用题组教学的形式,达到复习巩固系统化的效果,类似于高考第二轮的专题复习,构建知识体系. 2、控制难度不拓展 在解绝对值不等式的教学中,要控制难度:含未知数的绝对值不超过两个;绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数.解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论,把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式; 不等式证明的教学,主要使学生掌握比较法、综合法、分析法,其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法,应用柯西不等式和排序不等式的证明,只要求了解. 代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧.这些技巧是极为重要的,但对大多数学生来说,往往很难掌握这些技巧,教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想,对一些技巧不做更多的要求,不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中. 3、重视不等式的应用 不等式应用的教学,主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题,其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解.对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式;排序不等式;贝努里不等式的应用不作要求. 4、重视展现著名不等式的背景 几个重要不等式大都有明确的几何背景.教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景,使学生在学习中把握这些几何背景,力求直观理解这些不等式的实质.特别是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容,可指导学生阅读了解相关背景知识. 六、分节教学设计(部分) 本专题教学约需18课时,大致分配如下(仅供参考): 第1课时 不等式的性质 [目标要求] 理解并掌握不等式的六个基本性质 [探索研究] 1、实数的运算性质与大小顺序的关系: 得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可. 2、不等式的基本性质(6个): [典型例题]见课本P3例1 例2 [参考习题] 1、若a、b、x、y∈R,则是成立的( C ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2、已知,且,,求f(3)的取值范围. 3、已知a>0,,,试比较a、b、c的大小. 第2课时 基本不等式 [目标要求] 理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求最值时, 一定要满足"一正二定三相等"的条件. [探索研究] 1、定理1:如果,那么(当且仅当时取"=") 2、定理2:如果是正数,那么(当且仅当时取"=") 3、已知x, y都是正数.则(1)如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值; (2)如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值 [典型例题]见课本P6例3,例4 [参考习题] 1、当取什么值时,函数有最小值?最小值是多少? 2、求函数()的最小值. 3、设且,求的最大值 4、已知且,求的最小值 5、(较高要求)已知,且,求证: 第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式 [目标要求] 理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意"创造条件"利用基本不等式求最值. [探索研究] 1、引理:若,则(当且仅当时取"=") 2、定理3:若,则.(当且仅当时取"=") 3、推论:n个正数的算术—几何平均不等式:≥ 4、已知x,y,z都是正数.则(1)如果积xyz是定值p,那么当x=y=z时,和x+y+z有最小值; (2)如果和x+y+z是定值s,那么当x=y=z时,积xyz有最大值 [典型例题]见课本P9例5,例6 [参考习题] 1、 2、求函数的最值. 3、若,求证的最小值为3. 4、θ是锐角,求y=sinθcos2θ的最大值. 第4课时 绝对值三角不等式 [目标要求] 理解和掌握绝对值不等式的两个定理: |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立) |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立) 能应用定理解决一些证明和求最值问题. [探索研究] 1、|a|、|a-b|的几何意义;理解,及等号成立条件. 2、定理1 若,则,当且仅当ab≥0时,等号成立. 3、定理2 若,则,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 4、拓展:若,则及等号成立条件. [典型例题] 见课本P14例1,例2 [参考习题] 3、 第5课时 绝对值不等式的解法 [目标要求] 会熟练求解四种类型的不等式,特别是分区间讨论 [探索研究] 1、复习:不等式|x|a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞) 2、探究:不等式|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型的解法: ①换元法 ②分段讨论法 3、掌握不等式 ①定义法 ②分区间讨论 ③函数 4、了解简单的含参数绝对值不等式的解法 [典型例题] 见课本P16例3,例4,例5 [参考习题] 1、解不等式:(1)1<|2x+1|≤3 (2) ||x-1|-4|<2 (3)|3x-1|>x+3 (4) (5) (6) 2、不等式 >对一切实数都成立,求实数的取值范围. 第6课时 比较法 [目标要求] 会用比较法证明简单的不等式 [探索研究] 1、比较法 求差比较法的一般步骤,求商比较法的一般步骤 [典型例题] 见课本P21,例1,2,3, [参考习题] 1、 2、 3、 4、 5、 第7课时 综合法与分析法 [目标要求] 会用综合法、分析法证明简单的不等式,理解其推理方法、证明格式 [探索研究] (1)综合法:强调将问题进行合理变形转换,使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题. (2)分析法:分析法要强调书写步骤的合理性,注意逻辑上的充分条件,步步可逆不是指等价. [典型例题] 见课本P21-25,例1,2,3,4 [参考习题] 1、已知求证 2、已知求证 3、证明:. 4、已知都是互不相等的正数,求证 第8、9课时 反证法与放缩法 [目标要求] 通过简单的例子,了解用反证法、放缩法证明不等式的思想方法 [探索研究] (1)反证法 (2)放缩法,证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确,或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A