2012年普通高等学校招生全国统一考试·福建省高考考试说明 数学(理工农医类) Ⅰ.命题指导思想 普通高等学校招生全国统一考试,是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试. 2012年福建省高考数学(理科)的命题应以教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》、《2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科数学·课程标准实验·2012年版)》、《福建省普通高中新课程教学要求(数学)》为指导,以《2012年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明(试行)》(数学)为指导,以本《考试说明》为直接依据,并结合我省普通高中数学教学的实际进行.命题应有利于高校科学公正地选拔人才,有利于推进普通高中新课程,实施素质教育.命题应体现《普通高中数学课程标准(实验)》的理念,体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求,坚持能力立意,注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想,着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平,以及进入高等学校继续学习的潜能.命题应遵循以下命题原则: 一、贯彻课程理念,推进素质教育 命题要立足于《普通高中数学课程标准(实验)》,体现普通高中新课程的理念,准确理解和把握新课程标准的内涵与要求,考查对基础知识、基本技能的掌握程度和运用所学知识分析问题、解决问题的能力.重视数学素养的考查,关注科学技术和社会经济的发展,注重时代性和实践性,有利于高校科学公正地选拔人才;有利于激发学生学习数学的兴趣,促进素质教育的实施;有利于促进学生学习方式的转变,发挥高考命题对中学数学教学的正确导向作用,扎实推进我省普通高中新课程的顺利实施. 二、强化基础知识,注重整体设计 考查考生对基础知识的掌握程度,是数学高考的重要目标之一.对数学基础知识的考查,要求既全面,又突出重点.对于支撑数学知识体系的主干知识——函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体.对数学知识的考查要求全面,但不刻意追求知识点的百分比、知识内容的覆盖面,而是强调试题的综合性,注重学科的内在联系和知识的综合. 高考命题应从学科整体意义的高度去考虑问题,强调知识之间的交叉、渗透和综合,体现综合性,以检验考生是否具备一个有序的网络化的知识体系,并能从中提取相关的信息,有效、灵活地解决问题.命题应继承和发扬我省自行命题的成果和经验,在保持整体稳定的前提下,适度创新,注重试题的多样性和选择性.命题应科学设置探究性和开放性试题,体现对不同层次的考生的选拔.命题应合理分配必考、选考内容的比例,既考查考生的共同基础,又满足不同考生的选择需求.对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等,难度基本等值.试卷应具有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度. 鉴于我省新课程教材使用的多样性,命题务必充分体现公平性,试题必须适用于不同版本的教材.试题可以是取材于教材或课外参考资料中经过实质性改造后的问题,但切忌照搬任何教材或课外参考资料的原题或未经实质性改造过的题目.所设置的试题,特别是区分学生学习能力的把关试题应当关注解法的多样性,充分尊重学生在学习数学方面的差异,力求使得不同思维方式、思维层次的学生都能得到科学的评价.整份试卷的设计应合理,注重整体效应. 三、淡化特殊技巧,强调思想方法 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.因此,对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度.考查时,要从学科整体意义和思想含义上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度. 一般认为,中学数学基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的本质思想.中学数学涉及的数学思想主要有:函数与方程思想,数形结合思想,分类与整合思想,化归与转化思想,特殊与一般思想,有限与无限思想,或然与必然思想等.数学基本方法主要有:待定系数法、换元法、配方法、割补法等.数学逻辑方法或思维方法主要有:分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等.它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法,对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行. 四、强调能力立意,突出问题解决 "以能力立意命题"是数学的学科特点和考试目标所决定的.高考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力,因此命题中应尽量避免编制刻板、繁难和偏怪的试题,避免编制死记硬背的内容和繁琐计算的试题,力图通过数学科的考试,不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平,而且要以数学知识为载体,测量考生将知识迁移到不同情境的能力,从而检测考生已有的和潜在的学习能力.命题应突出能力立意,对知识的考查侧重于理解和应用,力求突破固定的解答模式,要求考生抓住问题的实质,对试题提供的信息进行合理地分检、组合、加工,寻找解决问题的办法. 高考对能力的考查,应以抽象概括能力、推理论证能力为重点,全面考查各种能力,强调综合性、应用性,切合考生实际.运算求解能力是推理论证能力和运算技能的结合,它包括数的运算、式的运算;包括精算、近似计算与估算.对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主,同时要兼顾对算理和推理论证能力的考查.空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合.数据处理能力主要是指能对收集到的相关数据,采用适当的方法进行整理、归纳、分析、解决问题.分析问题和解决问题的能力是上述几种基本数学能力的综合体现,对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础,加强思维品质的考查. 五、倡导学以致用,强化应用意识 加强应用意识的培养与考查是时代的需要,是教育改革的需要,同时也是数学科的特点所决定的.应用性问题主要是考查数学知识的实际应用.应用题的设计应贴近生活,联系实际,具有强烈的现实意义. 应用问题考查的重点是客观事物的数学化,这个过程主要是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问题转化为数学问题,并加以解决.命题时要坚持"贴近生活,背景公平,控制难度"的原则,要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度,要切合我省中学数学教学的实际,让数学应用问题的难度更加符合考生的水平,引导考生自觉地置身于现实社会的大环境,关心自己身边的数学问题,促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识. 六、提倡开放探索,关注创新意识 高考作为选拔性考试,应该偏重于能力测验,特别是能力倾向测验,适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识.因此,高考中可适当设置开放性、探索性试题,考查创新意识和探究精神.考查创新意识的问题应立足于中学数学,以中学数学的基础知识为基本素材,考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力. 考查创新意识的创新性试题可重点体现在情景、设问等方面.在设计考查创新意识的试题时,一方面,要积极探索,大胆实践;另一方面,应进一步研究试题的稳定性与创新性的关系,处理好试题创新与试题难度的关系,做到"不难不怪,难度适中". 七、体现层次要求,控制试卷难度 高考在考试目的、考试性质、考试内容和考试要求方面均不同于数学竞赛和普通高中学生学业基础会考.高考是要选拔部分合格高中毕业生升入高等院校深造,命题时应以知识为基础,多层次、多角度考查各种能力,试卷难度要适中,既要使一般考生都能得到基本分,又要使优秀学生的水平得以充分显现.根据我省高考的实际情况,整卷难度值应控制在0.6左右.试卷中各个试题的难度值一般控制在0.2~0.8之间,整份试卷中各种难度的试题分数的分布也应该适当.每种题型中都应编拟一些较易试题,使大部分考生都能得到一定的基本分;每种题型中也应编拟一些有一定难度的试题,以实现选拔的目的. Ⅱ.考试形式与试卷结构 一、考试形式 考试采用闭卷、笔试形式.考试时间为120分钟,全卷满分150分,考试不使用计算器. 二、试卷结构 考试内容包括必考内容和选考内容两部分. 必考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程和选修课程系列2的内容.选考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题的内容. 试卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为10个选择题,全部为必考内容;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两部分,必考部分由5个填空题和5个解答题组成;选考部分安排在第21题,作为解答题出现,由选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题各命制1小题,考生从3小题中任选2小题作答,如果多做,则按所做的前两小题记分. 选择题共10题,每题5分,共计50分;填空题共5题,每题4分,共计20分;解答题共6题,其中必考题5题,选考1题(包含3小题,每小题7分,考生从中任选2小题作答,满分14分),共计80分. 选择题为四选一型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不必写出计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 试卷应由容易题、中等题和难题组成,难度值在0.7以上的试题为容易题,难度值在0.4~0.7的试题为中等题,难度值在0.4以下的试题为难题,易、中、难试题的比例约为4:4:2,全卷难度值控制在0.6左右. 三、关于考试形式与试卷结构的说明 1.注重试卷整体设计,发挥结构效应 为发挥学科特点,体现高考的选拔功能,发挥整份试卷的区分作用,命题应注重试卷的整体设计.试卷的好坏取决于整张试卷产生的效应,而不仅仅是个别试题产生的效应,因此设计一份好的试卷不仅要编制好的试题,而且要注意试卷的整体结构,发挥整体效应. 试卷应兼顾数学知识和能力等方面,要有合理的知识结构和能力层次结构.知识结构是指试卷中包含学科各部分知识的比例,在编制双向细目表时,应根据各部分内容的教学时数和高考对考生知识结构的要求,综合平衡试卷中各部分知识内容的分值比例.试卷对能力要求的层次和比例,反映着考查的性质和要求.在高考中,应既考查数学能力,又考查一般认识能力,如观察力、注意力、记忆力等.由于新课程高考考试目标还包括基本数学方法以及按照一定程序与步骤进行运算、处理数据,绘制图表等基本技能的内容,因此还应注意结合各项知识考查数学方法与技能.将数学知识和能力有机结合,并融入具体试题,以便有效地全面检测考生的素质和潜能.同时应使试题编排合理,体现人性化和选拔功能的和谐统一. 2.合理确定试题梯度,体现试卷较好的区分度 根据我省高中发展和高校招生的实际情况,确定本学科试卷难度值为0.6左右.为使考生产生良好的心理效应,应充分发挥各种题型的功能.试卷中必考内容的难度按两级坡度设计,整卷是一个大坡度,而每种题型由易到难又是一个坡度.各种题型中起点试题的难度都应比较低,特别是在选择题部分,起点题水平应相当于普通高中学生学业基础会考的水平,其目的是测量全体考生对基础知识的掌握情况,为教学评价提供参考.选择题最后几题的备选项应有较大的迷惑性,以此来区分考生对基础知识掌握的深度和熟练运用的程度.解答题变一题把关为多题把关,解答题中必考部分的最后两题应分别考查不同的内容并设置一定的关卡,区分考生综合和灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力.由于选修课程系列4中的《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》是我省第一次作为选考内容进入高考试卷,应注意与实际教学相适应,控制好难度.难度定位为中等偏易.同时各选考专题的试题的分值应相等,并力求做到难度基本等值,体现考试的公平性. 在命题中应适当控制新颖试题的比例,要充分估计考生对试题的适应程度,有效地控制整卷难度,避免因为考生对新颖试题的不适应而导致发挥失常.同时还应控制试题的综合程度,适当降低起点试题的难度.试题的表述应注意运用考生熟悉的语言和表述方式,同时采用文字语言、图表、数学符号等多种数学语言,简明直观,有利于考生的阅读理解;试题背景应贴近考生的生活实际,让考生处于一个较为平和、熟悉的环境中,增强解题信心.要控制计算量,避免繁琐运算,一些貌似有较长运算过程的试题要有不同的解题思维层次,以区分不同思维层次的考生. 3.发挥各种题型的功能,充分体现新课程理念 今年的高考是我省实施普通高中新课程的首次高考,试题应体现新课程理念,在命题时应当注意教材的多样性,讲究取材,以确保试题的公平性.应适当顾及新增课程内容在试卷中的比例,重视"探究"与"思考"问题,让新课程中"倡导积极主动、勇于探索的学习方式和注重提高学生的数学思维能力"等基本理念得到有效落实. 从考查目标来看,高考强调在考查知识的基础上考查能力,因此需要一定数量的选择题和填空题以考查基础知识和基本技能,提高知识考查的覆盖面,考查考生敏锐地捕捉题设信息,迅捷地寻找合理的解题途径的解决问题能力,同时也增加考试的信度和效度. 解答题包括计算题、证明题和应用题等,能比较全面地反映考生学科智力水平,展示其分析数学问题、综合运用数学知识进行逻辑思维的过程,适合对发散、综合以及推理运算、文字表达等高层次能力的考查. 4.合理控制卷面字数和计算量 卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的总和.为使考生能尽快、无误地获取信息,题目叙述应简单明了,字母、符号、标点等都应正确运用并发挥其作用,在文字语言不能简明叙述或不能清楚表达时,应注意各种符号和图形的运用,减少生活语言对数学语言的干扰,合理控制卷面字数.高考应以考查能力、检测素养为主,试题应尽量避免繁、难的运算,控制各题的计算量,排除由于计算过多过繁造成耗时较多,或由计算错误而造成全题失分的现象,以便更好地考查考生的各种能力. 数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题,而计算量的大小是和全卷的工作量的大小密切相关的.实际上,控制全卷工作量的大小主要是由高考的性质决定的,一般来说应以50%的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准.这里所谓完成,不含复核时间,由于数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象,同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次,考生实际计算量的大小往往反映出考生能力水平的差异.计算量的估计应以一般通用解法为准. 高考应以考察能力、检测素养为主,试题应尽量避免帆、难的运算,控制各题的计算量,排除由于计算过多繁造成耗时较多,或由于计算错误而造成的全题失分的现象,以便更好地考查考生的各种能力. Ⅲ.考试目标与要求 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 对知识的要求由低到高分为三个层次,依次是了解、理解、掌握,且高一级的层次要求包括低一级的层次要求. 1.了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有:理解,描述,说明,表达,推测、想像,比较、判别,初步应用等. 3.掌握:要求能够对所列知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核,而且要对考生所学习的知识的内在联系、基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查.数学科的考试,按照"考查基础知识的同时,注重考查能力"的原则,确立以能力立意命题的指导思想.试题包括立意、情境和设问三个方面.以能力立意命题,就是首先确定试题在能力方面的考查目的,然后根据能力考查的要求,选择适宜的考查内容,设计恰当的设问方式.根据以能力立意命题的指导思想,命题应把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点,从测量学生的发展性学力和创造性学力着手进行,突出能力考查,发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用. 能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力 空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想像出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言,以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想像能力高层次的标志.对图形的想像,是指能根据图形想象出空间图形直观形象,包括对空间基本图形的识记、再现和思考;能从复杂的图形中区分出基本的图形,正确地分析出图形中基本元素及其相互关系. 立体几何是考查空间想像能力的主要载体,立体几何问题的解法一般有几何法与代数法两种,它们从不同的角度解决立体几何问题.向量具有几何形式和代数形式的"双重身份",是联系几何与代数的桥梁.用空间向量处理空间问题,空间元素间的位置关系转化为数量关系,形式逻辑证明转化为数值计算.由于思路清晰,降低了思维的难度,因此空间向量就成为处理空间问题的重要方法. 下面从识图与画图的结合、概念与推理的结合、对图形的处理等三个方面进行讨论. (1)识图与画图的结合.在立体几何中,强调对空间图形的整体认识和把握,从实物到图形,从三视图、直观图想像空间几何体,再从空间几何体的整体来把握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,因此识别图形就相当重要了.一方面,对基本的几何图形(平面或立体)要非常熟悉,能正确画图;另一方面,能正确识别图形,了解三视图和直观图的关系,分析几何图形中各元素在空间中的形状、大小和位置关系,突破习惯看平面图形的思维定势. 2.抽象概括能力 抽象概括能力:对具体、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质,从给定的大量信息中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断. 抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质属性的思维过程;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象是一步一步逐级进行的,具有层次性的,而且往往是将前一层次看作后一层次的"具体". 通过抽象,揭示本质,发现规律,这是科学研究工作必须具备的基本修养,是数学学习过程中要培养的一种能力.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象与概括又是有区别的,其主要区别在于:概括过程中的对象保持不变,但对象的范围扩展了,并推广到同类的全体事物;而在抽象过程中,对象由具体的变为形式化的、一般化的. 高考主要从数学语言、数学模式与数学模型两方面对抽象概括能力进行考查. (1)数学语言.在逐次抽象的过程中,牢固的数学基础知识、必要的逻辑知识、数学语言是必不可少的工具. 因此,使用数学语言与符号的能力,是抽象概括能力的重要体现. 数学语言是数学化了的自然语言,是数学特有的形式化的符号体系.语言是思维的载体,思维需要用语言或文字表达.依靠数学语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来.数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言.在高考数学试题中,主要是用文字语言和符号语言,辅之以图形语言表述、呈现试题内容.高考中考查的重点是文字语言,并要求考生能够根据实际情况进行三种形式的语言间的转换.对语言的考查包括两方面的要求:一是要求考生读懂题目的叙述,把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑,以便于大脑加工;二是要求考生有一定的语言表达能力,能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程,并要求表达条理清晰,层次分明,没有逻辑错误,能准确规范地使用各种数学名词、术语和数学符号. 3.推理论证能力 推理论证能力:根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题真实性的初步的推理能力. 推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成;论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理;论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明. (1)演绎推理.演绎推理是从定义、定理出发进行分析、推理、论证,其重点是三段论推理,是进行数学证明的有力工具.它把一般前提下蕴含的性质揭露出来,使这些性质间的内在联系更清楚,对数学的形成和发展有重要的作用,因此演绎推理能力是数学能力的一个重要方面.高考对推理论证能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上,试卷中考查演绎推理的题型,既可使用选择题、填空题的形式,也可使用解答题的形式进行重点考查. (2)合情推理. 合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实践和实验的结果,以及个人的经验和直觉等猜测某些结果的推理过程.归纳和类比均属于合情推理.在解决问题的过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论;演绎推理用于验证结论的正确性.表面上看,学生在解决问题时的合情推理是不按逻辑程序去思考,但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的思维表现形式. 数学既需要严密的逻辑证明,也需要合情猜想与合情推理."猜"是直觉思维的产物,是发明创造的基础,是人的素质的标志.科学、合理的猜测是数学能力的体现. 正如数学教育家波利亚所说:数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式的严谨科学,从这方面看数学是一门系统的演绎科学,但另一方面,创造过程中的数学,看起来更象一门试验性的归纳科学. 4.运算求解能力 运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算求解能力是中学数学中要求培养的重要能力,运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. 对运算求解能力的考查不仅包括对数的运算,还包括对式的运算,兼顾对算理和推理论证的考查.对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主,包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等.运算结果具有存在性、确定性和最简性. 运算求解能力是一项基本能力,在代数、立体几何、平面解析几何、概率与统计等方面都有所体现.在高考中多数题目的解决需要运算,运算的作用不仅是只求出结果,有时还可以辅助证明.运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力.高考对运算求解能力的考查应注重算理和符号运算考查,合理控制计算量,注意精确计算与合理估算结合. (1)运算的合理性.运算的合理性是运算能力的核心.一般一个较复杂的运算,往往是由多个简单的运算组合而成的.能正确确定运算目标,将各部分有机地联系在一起,这是运算合理性的主要标志,是提高运算求解能力的重要因素.运算的合理性表现在运算要符合算理,运算过程的每一步变形都要有所依据,或依据概念,或依据公式,或依据法则,可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现.运算过程包含着思维过程,运算离不开思维.随着计算机和计算器技术的发展和普及,只要能设计出运算程序,计算机就能够完成相应的计算,而且高效、快捷、准确.因此时,运算求解能力的考查重点应考查算理. 运算的合理性首先表现在运算目标的确定上.运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等,有时还是完成推理和判断的工具.对一些比较直接、简单的运算目标一般比较容易把握,但对一些比较复杂的运算目标,需要经过多步运算才能得到最终结果,学生一般都感到困难.如在进行三角恒等变形时,变形的目的性不明确,滥用公式,把有关的三角公式都写上,分辨不出用公式的目的;研究函数的单调性时,不懂得先对函数求导,然后考察导函数的正负取值,特别地,当含有参数时不懂得对参数进行讨论;在求曲线的轨迹方程时,对如何消去方程组中的参数,确定运算目标问题把握不准等.运算的合理性还表现在运算途径的选择上.合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要,也是运算准确性的保证. 运算的步骤越多,越繁琐,出错的可能性也就越大.因而,根据问题的不同条件和特点,合理选择运算途径是提高运算能力的关键.灵活地运用公式、法则和有关的运算律,掌握同一个问题的多种运算方法和途径,善于通过观察、分析、比较,将有助于作出合理的选择.因此,对运算求解能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质(如思维的灵活性、敏捷性、深刻性)的考查. (2)运算的准确性.运算的准确性是运算求解能力的基本要求,要求考生根据算理和题目的运算要求,有根有据地一步一步地实施运算.影响运算准确的因素是多方面的,数学中的定义、公理、定理、公式、法则和定律等是运算的依据,只有准确地理解概念,熟练地掌握运算法则和运算定律,才能使运算顺利进行.只要在运算过程的某一个环节出现问题,就会导致整个运算的错误,因此,在运算过程中使用的概念、公式、法则等都要准确无误,才能保证运算结果的准确性. (3)运算的熟练性.运算的熟练性是对考生思维敏捷性的考查.思维敏捷性是在诸多思维特征中具有创新意义的一个重要思维特征,也是思维个性品质的一个重要层面.在高考中考查运算能力,一般不是增大每题的运算量,而是通过合理控制题目数量、控制每题的运算量,增加思考强度和思维深度来实现的.控制题目数量和每题的运算量,可以给考生以充裕的时间去思考如何进行计算,而不是把时间花在冗长的计算过程和运算符号、文字的书写上.过难、过繁的计算将消耗考生的时间和精力,影响对基本概念、方法,特别是思维能力的考查. (4)运算的简捷性.运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省.运算的简捷是运算合理性的标志,是运算速度的要求. 高考对运算简捷性的考查,主要体现在运算过程中概念的灵活应用,公式的恰当选择,数学思想方法的合理使用等.其中数形结合思想,函数与方程思想,化归与转化思想,换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用.运算的简捷性是对考生思维深刻性、灵活性的考查. 通过比较不难发现,不同的运算途径,所获得方程不同,虽然都能达到运算的目标,但计算的难易程度及相应的计算量的差异较大.思路二是灵活利用椭圆的定义解题,要比其他方法简捷得多.思路三的计算量偏大,可能导致计算结果出错,或计算到中途放弃. 5.数据处理能力 数据处理能力:会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题. 数据是由实验、观测或其它方法所收集得到,而收集的数据通常是分散的,一般缺乏系统和次序,它们所遵循的规律往往不能一目了然,因此,必须去粗取精,去伪存真,对数据作科学的整理和归纳,方能显露出这一批数据所遵循的规律. 对现实生活的许多问题的研究,一般先获取数据,并对数据用列表或作图等方法进行分析,再结合数学、物理、化学等自然科学的知识,采用某个数学模型来刻画它,通过对该模型的研究,发现该类问题具有的属性,并对它作出决策和判断. 数据处理一般需要以下三步: 第一步: 将收集到的数据资料加以整理和归纳,用列表、作图等方法,并借助于少数几个简单的特征数字,把这些数据的主要特点表现出来; 第二步:将整理、归纳后所得到的数据资料加以分析,发掘这些数据资料所遵循的规律; 第三步:依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,抽取对研究问题有用的信息,并作出判断. 6.应用意识 应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题;能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模型,并加以解决. 应用意识是将客观事物数学化的意识,是指从语言叙述的现实问题出发,经过数学思考,提炼出相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,并通过构造数学模型,综合应用所学的中学数学知识、思想和方法加以解决的意识.应用的背景、范围包括数学自身的应用,数学在物理、化学、生物等相关学科中的应用,以及在生产、生活中的简单应用. 对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式,要求考生能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用相关的数学方法解决问题,并加以验证;能用数学语言正确地表述和说明.应用题的命制要坚持"贴近生活,背景公平,控制难度"的命题原则,即设计的应用问题要考虑考生的年龄特点、实践经验、地区差别,要符合中学数学教学的实际情况,不宜太难. 由于应用题给出的方式采用的是材料的陈述,而不是客体的展示,也就是说,考查时所提出的问题,通常是已进行过初步加工,并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前,要求考生读懂、看懂.因此,对阅读数学材料的能力有较高的要求,包括普通语言的阅读理解能力和数学语言的文字表达能力,特别是普通生活语言的理解、抽象和转化为数学语言的能力. 发展数学应用意识,力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断,是时代发展的需要,是教育改革的需要,同时也是数学学科的特点所决定的.随着科技的发展和社会的进步,数学这门学科得到了越来越广泛的应用.无论在科学、工程、经济乃至现实生活的各个领域,人们到处都可以发现数学不可低估的重要作用.因此,数学能力将是人的素质的极其重要的组成部分.高考作为培养未来人才的选拔性考试,应当面对社会现实.正是这个深层次的原因,使得高考强调、重视数学应用. 在考查应用意识时,应注意如下若干问题: ①导向性:数学应用不能单纯满足于课本应用问题的变形,应当让应用问题更加贴近现实的生活实际,引导考生置身于现实社会生活之中,关心自己身边的数学问题,关心社会的发展和进步.数学科高考应重视考查有着深刻现实背景的应用问题,选编的数学应用问题,应在思想内容上富有时代信息,有教育价值,并注重科学性,有助于中学素质教育. ②有效性:要密切结合学生生活实际,立足本学科的重点内容,突出学科本质,突出数学在解决实际问题时的应用价值.试题是以问题为中心,而不是以知识为中心,要有适当的难度和计算量,对处理问题的灵活性和机敏性有一定的考查要求,能够考查考生分析问题解决问题的能力. ③综合性:问题所涉及的数学知识和方法要有一定的深度和广度,具有综合性,解答时从分析、思考到求解,需要综合应用所学数学知识、思想和方法. ④恰当性:要注意应用题的难度控制.数学应用题从易到难,大致可分为以下四个不同的层次:(a) 数学模型已给出,可直接套公式计算;(b) 数学模型没有给出,但可以利用现成的数学模型对应用问题进行定量分析;(c) 数学模型没有给出,但问题是已经过加工提炼、数学量已确定,已知量、未知量比较清楚的实际问题;(d)原始的实际问题.对于以上四个层次,直接套用公式计算与实际背景关系不大,达不到考查应用的目的;而直接面对原始的实际问题则又要求过多的实际经验与其他方面的专门知识,以致数学的应用反降为次要,也达不到考查应用的目的.我们认为应用问题不完全等同于实际问题,在解决应用问题或将实际问题抽象为数学问题的过程中所涉及的有关知识和方法应该是考生已经学过的.因此,宜以上述(b)、(c)两个层次来设计应用题,以避免脱离当前的教学实际. ⑤公平性:背景公平、评分客观.为保证考试的公平性,应用题叙述应简明易懂,所涉及的实际问题情境对所有考生都应是公平的.在编拟应用题时应注意:一方面在考场上,考生的思考时间是有限的;另一方面为了表述清楚应用情境,便于考生理解抽象的数学关系,通常应用问题的叙述较长,考生需要较长时间理解题意.因此题目的叙述应当明确,避免歧义,便于考生理解. 应用问题都有一定的实际背景,因此需要考虑的条件较多,解决问题的方法一般也是在综合考虑各方面的限制条件后的结果,解决的方法一般不唯一.为保证评卷客观、公正,便于操作,控制评分误差,命题时应适当地限制一些条件,且有明确的评分标准. 7.创新意识 创新意识:能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的"观察、猜测、抽象、概括、证明",是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识越强. 数学教育的目的不只是让学生掌握一些知识,也不是把每个人都培养成数学家,而是把数学作为探索自然现象、社会现象的基本规律的工具和语言,通过数学的学习和训练,在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质,形成科学的世界观和方法论.因此,高考对创新意识的考查,主要是要求考生不仅能理解一些概念、定义,掌握一些定理、公式,更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题.高考对应用意识和创新意识的考查,其意义已超出了数学学习,对提高考生的学习能力、工作能力和数学素养都有重要的意义. 具有创新性质的思维活动表现为: ①能从题目的条件中提取有用的信息,从题目的求解(或求证)中考虑需要的信息. ②能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息,作为解决问题的依据,推动①中信息的延伸. ③将①,②中获得的信息联系起来,进行加工、组合,主要是通过分析和综合,一方面从已知到未知,另一方面从未知到已知,寻找正反两个方向的知识"衔接点"——一个固有的或确定的数学关系. ④将③中的思维过程整理,形成一个从条件到结论的行动序列. 高考中对创新意识的考查要求考生能够将能力要素进行有机的组合.能力要素的有机组合首先是各种能力的综合,但又不是所有能力要素的综合,是解题所需的能力要素的组合.它包括观察能力、记忆能力、理解能力、分析能力和运用知识的能力等,以及空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力的综合运用. 对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查,在考试中常常通过创设一些比较新颖的问题情境,构造一些具有一定深度和广度、能体现数学素质的数学问题,着重考查数学主体内容.这类问题一般都注重问题的多样化,体现思维的发散性,反映数、形运动变化的特点. 当然,高考对创新意识的考查必须控制在一定的范围和层次上,以避免脱离当前的教学实际.这主要体现在以下两点:首先,所设计的试题应是能使用中学数学知识和高中毕业生应当具备的基本常识所能解决的相关问题;其次,问题给出的方式采用的是材料的陈述,而不是客体的展示,也就是说,考查时所提出的问题,通常已进行过初步加工,并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前,要求考生读懂、看懂.因此,对阅读、理解数学材料的能力有较高的要求. 三、数学思想方法 1.函数与方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质(定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性等),使问题得到解决.函数思想贯穿高中代数的全部内容,它的形成是建立在初中学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的基础上,通过高中幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的学习得以逐步提高,并在解决实际问题中得到深化,且在研究方程、不等式、数列、解析几何中发挥重要作用. 方程思想是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决. 函数与方程是相互联系的,在一定条件下,它们可以相互转化,如解方程就是求函数的图象与轴交点的横坐标;方程的解就是函数与的图象交点的横坐标.函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征,运用函数思想解题,重在对问题中的变量的动态研究,从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路;而方程思想则是动中求静,研究运动中的等量关系.函数思想与方程思想常常是相辅相成的,函数的研究离不开方程.列方程(组)、解方程(组)和研究方程(组)的特性,都是应用函数与方程思想时需要重点考虑的. 高考对函数与方程思想的考查,通常使用选择题和填空题考查函数与方程思想的简单应用,而在解答题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力综合的角度进行较为深入的考查. 函数思想不仅仅是使用函数的方法研究解决函数的问题,更重要的是构建函数关系,用函数的方法研究解决非函数问题.因此,可以认为函数思想的精髓是构建函数关系,利用函数的有关性质解决问题. 2.数形结合思想 数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面. 数形结合是数学解题中常用的思想方法,运用数形结合思想,使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程. 实现数形结合,通常有以下途径:①实数与数轴上的点的对应关系;②有序数组与坐标平面(空间)上的点的对应关系;③函数与图象的对应关系;④曲线与方程的对应关系;⑤以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如向量、复数、三角函数等;⑥所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 运用数形结合研究数学问题,加强了知识的横向联系和综合应用,对于沟通代数与几何的联系,具有指导意义.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果.数形结合的重点是研究"以形助数",这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野. 数形结合思想除了在解选择题、填空题中能显其优越,对一些解答题,通过画图,往往能激发解题灵感.如函数的解答题,在解答书写的过程中,一般不必画出函数图象,但解题思路又必须依赖于函数图象,这是在解答题中考查数形结合思想的一种形式. 3.分类与整合思想 在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况;解到某一步之后,发现问题的发展是按照不同的方向进行的.当被研究的问题包含了多种情况时,就必须抓住主导问题发展方向的主要因素,在其变化范围内,根据问题的不同发展方向,划分为若干部分分别研究.这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究的基本方向是"分",但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种"合—分—合"的解决问题的思想,就是分类与整合思想. 分类与整合思想不仅是解决数学问题的常用方法,也是其他自然科学和社会科学研究的基本逻辑方法.高考把对分类与整合思想的考查放在比较重要的位置,并以解答题为主进行考查.分类与整合思想通常以概念的划分、集合的分类为基础.对分类与整合思想的考查,主要有以下几个方面:一是分类意识,即什么情况下需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类要标准统一,不重不漏;三是分类之后如何科学地研究;四是如何合理地整合. 培养分类意识,应知道哪些问题需要分类,在什么情况下应该分类,以提高思维的逻辑性和严密性.在考虑分类时,通常应关注以下几点: ①有些概念就是分类定义的,如绝对值的概念等. ②有的运算法则和定理、公式是分类给出的,例如等比数列的求和公式就分为和两种情况;指数、对数函数的单调性就分为,两种情况;求一元二次不等式的解又分为,及,,几种情况;等等. ③图形位置的相对变化也会引起分类,例如两点在同一平面的同侧、异侧,二次函数图象的对称轴相对于定义域区间的不同位置等. ④一些题目(如排列组合的计数问题、概率问题等),要按题目的特殊要求,分成若干情况研究. 4.化归与转化思想 化归与转化思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.数学题中的条件与条件、条件与结论之间存在着差异,差异即矛盾,解题过程就是有目的地不断转化矛盾,最终解决矛盾的过程. 化归与转化思想是解决数学问题时经常使用的基本思想方法,其本质含义是:在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上,而是去寻觅、追溯一些熟知的结果,由此将问题化难为易,化繁为简,化大为小,各个击破,达到最终解决问题的目的.解题过程具有灵活性与多样性的特点.化归变换原则的结构中蕴含着三个基本要素,即变换的对象、目标和方法.变换的对象就是待解决问题中需要变更的问题,变换的目标是指所要达到的规范问题,变换的方法就是规范化的手段、措施和技术.变换的方法是实现变换的关键.一个数学问题,我们可以视其为一个数学系统或数学结构,组成其要素之间的关系是可变的,但寻求变形的方法并不唯一.所以,应用数学变换的方法去解决有关数学问题时,就没有一个统一的模式可以遵循,需要我们依据问题本身所提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行选择,做到生疏变换成熟悉、复杂变换成简单、抽象变换成直观、含糊变换成明朗. 高考中十分重视对化归与转化思想的考查,要求考生熟悉数学变换的思想,在变换思想指导下,针对面临的数学问题,实施或变换问题的条件,或变换问题的结论,或变换问题的内在结构,或变换问题的外部表现形式去灵活解决有关的数学问题.高考中重点考查一些常用的变换方法,如一般与特殊的转化,繁与简的转化,命题的等价转化,空间图形与平面图形的转化,数与形的转化等等. 5.特殊与一般思想 人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的.通过对某些个体的认识与研究,逐渐积累对这类事物的了解,逐渐形成对这类事物总体的认识,发现特点,掌握规律,形成共识,由浅入深,由现象到本质,由局部到整体,这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程.但这并不是目的,还需要用理论指导实践,用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题,这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程,就是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外,这种由特殊到一般,由一般到特殊的研究数学问题的思想,就是数学研究中的特殊与一般思想. 在数学学习过程中,对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始,通过归纳总结得出结论,经过证明后,又利用它们来解决相关的数学问题.在数学学习中经常使用归纳、演绎等方法分析、探索数学问题中的规律和结论,这些方法就是特殊与一般思想方法的集中体现,也是高考考查的重点之一.在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题,如曾设计过利用归纳的方法进行猜想的试题;设计过由平面到空间、由空间到平面,通过特殊和一般进行类比猜想的试题;选择题中还特别着重考查特殊与一般思想,突出体现特殊化方法的作用.通过构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点,确定特殊位置,利用特殊值、特殊方程等,研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题,等等. 为了判断命题的真假,只要能找出一种特殊情况,也即"有可能是",结论即是正确;反之,对一般情况都不成立,也就对"有可能是"进行了否定.此题很好地体现了特殊与一般思想. 6.有限与无限思想 有限与无限相比,有限显得具体,无限显得抽象,对有限的研究往往先于对无限的研究,对有限个对象的研究往往有章法可循,并可以积累一定的经验.而对无限个对象的研究,却往往不知如何下手,显得经验不足,于是将对无限的研究转化成对有限的研究,就成了解决无限问题的必经之路.反之当积累了解决无限问题的经验之后,可以将有限问题转化成无限问题来解决.这种无限化有限,有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想. 在数学学习过程中,虽然开始学习的数学都是有限的数学,但其中也包含有无限的成分,只不过没有进行深入的研究.在学习有关数及其运算的过程中,对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是研究有限个数的运算,但实际上各数集内元素的个数都是无限的,以上数集都是无限集.对图形的研究,知道直线和平面都是可以无限延伸的.利用导数研究函数的有关问题、双曲线的渐近线等,都渗透了有限与无限思想. 高考中对有限与无限思想的考查,既可单独考查,亦可在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想.例如,在使用由特殊到一般的归纳思想时,含有有限与无限的转化思想;在使用数学归纳法证明时,解决的是无限的问题,体现的也是有限与无限思想,等等. 7.必然与或然思想 世间万物是千姿百态、千变万化的,人们对世界的了解、对事物的认识是从不同侧面进行的,人们发现事物或现象可以是确定的,也可以是模糊的,或随机的.为了了解随机现象的规律性,便产生了概率论的数学分支.概率是研究随机现象的学科,随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,即重复同样的试验,所得到的结果未必相同,以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性,即在大量重复试验中,每个试验结果发生的频率"稳定"在一个常数附近.了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果,知道每个结果出现的概率.知道这两点就说明对这个随机现象研究清楚了.概率研究的是随机现象,研究的过程是在"偶然"中寻找"必然",然后再用"必然"的规律去解决"偶然"的问题,这其中所体现的数学思想就是或然与必然思想. 高考中对概率与统计的考查已放在了重要的位置.通过对随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望值和方差,抽样方法,总体分布的估计等重点内容的考查,一方面考查基本概念和基本方法,另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辨证关系,从而体现了或然与必然思想. 四、个性品质要求 个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义. 要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神. Ⅳ.考试内容 一、考试内容及要求 根据普通高等学校对理科学生数学素养的要求,按照既保证与全国普通高校招生统一考试的要求基本一致,又有利于我省实施普通高中数学新课程的原则,参照教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》、《普通高等学校招生全国统一考试考试大纲(课程标准实验版)》和省教育厅颁布的《福建省普通高中新课程选修Ⅰ课程开设指导意见(试行)》、《福建省普通高中新课程教学要求(数学)》,结合我省普通高中数学教学实际,确定我省高考理科数学考试内容.将考试内容分为必考内容和选考内容.必考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程和选修课程系列2的内容;选考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的选修课程系列4的4—2《矩阵与变换》、4—4《坐标系与参数方程》、4—5《不等式选讲》等三个专题的内容. 必考内容与要求 1.集合 (1)集合的含义与表示 ① 了解集合的含义、元素与集合的"属于"关系. ② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. (2)集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义. (3)集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③ 能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 2.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数 ① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型. ④ 了解指数函数与对数函数互为反函数(). (4)幂函数 ① 了解幂函数的概念. ② 结合函数的图象,了解它们的变化情况. (5)函数与方程 ① 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. ② 根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. (6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征;知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. ② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 3.立体几何初步 (1)空间几何体 ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. ③ 了解平行投影与中心投影,了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (2)点、直线、平面之间的位置关系 ① 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 4.平面解析几何初步 (1)直线与方程 ① 在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ④ 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. (2)圆与方程 ① 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ② 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. (3)空间直角坐标系 ① 了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. ② 会推导空间两点间的距离公式. 5.算法初步 (1)算法的含义、程序框图 ① 了解算法的含义,了解算法的思想. ② 理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环. (2)基本算法语句 理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 6.统计 (1)随机抽样 ① 理解随机抽样的必要性和重要性. ② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法. (2)总体估计 ① 了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,了解它们各自的特点. ② 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. ④ 会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. ⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. (3)变量的相关性 ① 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. ② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(不要求记忆线性回归方程系数公式). 7.概率 (1)事件与概率 ① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. ② 了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型 ① 理解古典概型及其概率计算公式. ② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. (3)随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ② 了解几何概型的意义. 8.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念. ② 了解弧度制概念,能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数 ① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切,及的正弦、余弦的诱导公式,能画出,,的图象,了解三角函数的周期性. ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 轴的交点等);理解正切函数在区间的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式:,. ⑤ 了解函数的物理意义;能画出的图象,了解参数对函数图象变化的影响. ⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单的实际问题. 9.平面向量 (1)平面向量的实际背景及基本概念 ① 了解向量的实际背景. ② 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. ③ 理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算 ① 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ② 掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义;理解两个向量共线的含义. ③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义. ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积 ① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (5)向量的应用 ① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 10.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. ③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 11.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 12.数列 (1)数列的概念和简单表示法 ① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ③ 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 13.不等式 (1)不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ② 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决,但求解过程不要求对最优解进行取整调整. (4)基本不等式:. ① 了解基本不等式的证明过程. ② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 14.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ① 了解命题的概念. ② 了解"若p,则q"形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. ③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. (2)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义. (3)全称量词与存在量词 ① 理解全称量词与存在量词的意义. ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 15.圆锥曲线与方程 (1)圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率). ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). ④ 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、准线、离心率). ⑤ 掌握直线与圆锥曲线的位置关系;能解决圆锥曲线的简单应用问题. ⑥ 理解数形结合的思想. (2)曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 16.空间向量与立体几何 (1)空间向量及其运算 ① 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量. ② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). ④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用. 17.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景. ② 理解导数的几何意义. (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数的导数. ② 能利用下列给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如)的导数. 常见基本初等函数的导数公式: (为常数);,();;; ;(且;;(且. 常用导数运算公式: 法则1:. 法则2:. 法则3: . (3)导数在研究函数中的应用 ① 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些简单的实际问题. (5)定积分与微积分基本定理 ① 了解定积分的实际背景;了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. ② 了解微积分基本定理的含义. 18.推理与证明 (1)合情推理与演绎推理 ① 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. ② 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. (2)直接证明与间接证明 ① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点. (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理及其使用范围,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 19.数系的扩充与复数的引入 (1)复数的概念 ①理解复数的基本概念. ② 理解复数相等的充要条件. ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义. (2)复数的四则运算 ① 会进行复数代数形式的四则运算. ② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 20.计数原理 (1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. ② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. (2)排列与组合 ① 理解排列、组合的概念. ② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③ 能解决简单的实际问题. (3)二项式定理 ① 能用计数原理证明二项式定理. ② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 21.概率与统计 (1)概率 ① 了解分布列对于刻画随机现象的重要性;理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,会求取有限个值的离散型随机变量的分布列. ② 理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. ⑤ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. (2)统计案例 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求2*2列联表)的基本思想、方法及其简单应用. (2)假设检验 了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用. (3)回归分析 了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 选考内容与要求 1.矩阵与变换 (1)二阶矩阵 了解二阶矩阵的概念. (2)二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 ①了解矩阵与向量的乘法的意义,会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法. ② 理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点),即. ③ 了解几种常见的平面变换:恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换. (3)变换的复合——二阶方阵的乘法 ① 了解矩阵与矩阵的乘法的意义. ② 理解矩阵乘法不满足交换律. ③ 会验证二阶方阵乘法满足结合律. ④ 理解矩阵乘法不满足消去律. (4)逆矩阵与二阶行列式 ① 理解逆矩阵的意义,懂得逆矩阵可能不存在. ② 理解逆矩阵的唯一性和 等简单性质,了解其在变换中的意义. ③ 了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵. (5)二阶矩阵与二元一次方程组 ① 能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义. ② 会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组. ③ 理解线性方程组解的存在性、唯一性. (6)变换的不变量 ① 掌握矩阵特征值与特征向量的定义,理解特征向量的意义. ② 会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形). (7)矩阵的应用 利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示,并能用它来解决问题. 2.坐标系与参数方程 (1)坐标系 ① 了解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,了解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,了解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. (2)参数方程 ① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 3.不等式选讲 (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ① ; ② ; (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ;;. (3)了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. ① 柯西不等式的向量形式:. ② . ③ (通常称作三角不等式). (4)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:. (5)会用向量递归方法讨论排序不等式. (6)会用数学归纳法证明贝努利不等式:且,为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立. (7)会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式证明一些简单问题;能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. (8)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 二、若干问题的说明 1.关于主干知识的说明 (1)函数和导数 函数和导数知识主要包括函数的概念、图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,导数及其应用等.高中数学中的许多知识都可以与函数建立联系,并且可围绕函数这一主线展开.高中数学中函数知识的学习,突出基础性和综合性,是培养学生的数学思想、理性思维以及数学学习潜能的重要素材. 函数是高考考查能力的重要素材,以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重.这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.一般说来,选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识,关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透,着力体现概念性、思辨性和应用意识.解答题大多以基本初等函数为载体,综合应用函数、导数、方程、不等式等知识,并与数学思想方法紧密结合,对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查,体现了能力立意的命题原则.这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位. 在中学引入导数知识,为研究函数的性质提供了简单有效的方法.解决函数与导数结合的问题,一般有规范的方法,利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤,具有较强的可操作性.高考中,函数与导数的结合,往往不是简单地考查公式的应用,而是与数学思想方法相结合,突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等,所考查的问题具有一定的综合性. 函数的奇偶性与单调性是函数性质考查的重要内容,几乎每年的高考试题都会涉及到相关的知识.函数的奇偶性表达的是函数图象的对称性,常常与函数图象的变换相结合;函数的单调性表达的是函数图象的变化趋势,常常与函数的导数相关联.利用导数工具研究函数的单调性、极值和函数图象的切线等内容,体现了函数与导数的交汇. (2)数列 数列知识主要包括等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式.数列作为一种离散型的特殊函数,是反映自然规律的基本数学模型.数列问题重视归纳与类比方法的应用,并用有关知识解决相应的问题.数列是考查化归与转化思想、分类与整合思想、合情推理与演绎推理的重要素材. 在历年高考中,往往把数列当作重要的内容来考查.在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中,关注概念辨析以及等差、等比数列的"基本量法";在考查数列的综合问题时,对能力有较高的要求,试题有一定的难度和综合性,常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起,涉及化归与转化、分类与整合等数学思想. 在考查相关知识内容的基础上,高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上.使用选择题、填空题形式考查数列的试题,往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法.使用解答题形式考查数列的试题,其内容往往是一般数列的内容,其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法,并且往往不单一考查数列知识,而是与其他内容相结合,体现对解决综合问题的考查力度.数列综合题有一定的难度,对能力有较高的要求,对合理区分出较高能力的考生起到重要作用.理科试卷侧重于理性思维的考查,试题设计通常以一般数列为主,着重考查抽象思维和推理论证能力. 数列问题在考查演绎推理中发挥着重要的作用.在高考的数列试题中,有的是从等差数列或等比数列入手构造新的数列,有的是从比较抽象的数列入手,给定数列的一些性质,要求考生进行严格的逻辑推证,找到数列的通项公式,或证明数列的其他一些性质.在这里,虽然也有一些等差或等比数列的公式可以应用,但更多的是应用数列的一般性质,如(n≥2)等.这些问题对恒等证明能力提出了较高的要求,要求考生首先明确变形目标,然后根据目标进行恒等变形.在变形过程中,不同的变形方法可能简化原来的式子,也可能使其更加复杂,所以还存在着变形路径的选择问题. (3)三角函数 三角函数是继指数函数、对数函数、幂函数之后学习的又一基本初等函数,主要包括三角函数定义,同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,三角函数的图象与性质,解三角形及其应用. 一般来说,单独考查三角函数内容的试题,以三角函数定义,同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式等为工具,研究化简求值,以及三角函数的图象与性质等内容. 在学习三角函数时,学习了函数的奇偶性和周期性,进一步深化了对函数的概念与性质的认识.因此,在高考中突出考查它的图象与性质,尤其是形如y=Asin(ωx+)的函数图象与性质.对三角公式和三角变形的考查通常与三角函数的图象和性质相结合,或直接化简求值.在化简求值的问题中,不仅考查考生对相关公式掌握的熟练程度,更重要的是以三角公式为素材,重点考查相关的数学思想和方法,主要是函数与方程思想和化归与转化思想. 三角函数知识集知识性、工具性于一体,学习过程中不仅要重视相关知识的理解和记忆,更应当重视三角函数的图象和性质的探究,关注三角知识的应用,关注解三角形及其应用. (4)立体几何 立体几何主要包括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图,点、直线、平面的位置关系,空间向量及其应用等. 高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.一般说来,选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解,考查画图、识图、用图的能力;解答题一般以简单几何体为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题,综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的同时,关注对平行、垂直关系的探究,关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究. 在立体几何中,很多问题可以通过建立空间坐标系,将几何元素间的关系数量化,进而利用向量的方法,通过计算解决.空间向量在涉及平行与垂直关系的探究,直线与直线、直线与平面的成角以及二面角的计算等问题上具有一定的优势. (5)解析几何 解析几何是高中数学的又一重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系.用向量方法研究解析几何问题,主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及成角.平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材. 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.因此,在解题的过程中计算占了很大的比重,对运算求解能力有较高的要求.计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行,合理利用曲线的定义和性质将计算简化,讲求运算的合理性,如"设而不求"、"整体代换"等. 解析几何试题应淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查. (6)概率与统计 概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等. 概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识. 概率与统计的引入,拓广了应用问题取材的范围,概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用. 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的,考虑到目前教学实际和学生生活实际,高考对这一部分内容的考查应贴近学生生活,注重考查基础知识和基本方法. 2.关于选考内容的说明 根据我省的教学实际,选考部分试题的难度定位在中等偏易水平. (1)矩阵与变换 《矩阵与变换》主要包括二阶矩阵、逆矩阵、二阶方阵的特征值和特征向量等,着重考查矩阵的乘法、二阶矩阵(对应行列式不为零)的逆矩阵,考查二阶方阵的特征值和特征向量的求法(只要求特征值是两个不同实数的情形),考查矩阵变换的性质及其几何意义,考查平面图形的变换等. (2)坐标系与参数方程 《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容.坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想,以及两种坐标的关系与互化;极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程;球坐标系和柱坐标系只做简单的了解,不宜拓宽、拔高要求.参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程,能进行普通方程与参数方程的互化,并会选择适当的参数,用参数方程表示某些曲线,解决相关问题. 参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点. (3)不等式选讲 《不等式选讲》主要包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.主要考查绝对值不等式的解法,不等式证明及其应用.要求学生了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法,会用这些方法证明一些简单的不等式,考查推理论证能力和分析解决问题能力,对恒等变形不作过高要求.绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式的应用只要求会用它们证明一些简单问题和求一些特定函数的极值,应注意控制难度. Ⅴ.参考试卷 2012年普通高等学校招生全国统一考试·福建省考试说明·参考试卷 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题.满分150分. 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的"准考证号、姓名"与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上数学作答,在试卷上作答,答案无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据x1,x2,…,xn的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中S为底面面积,h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 , 其中S为底面面积,h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集U=R,集合,则等于( ) A.B. C. D. 3.如果等差数列中,( ) A.14 B.21 C.28 D.35 4.下列函数中,满足"对任意,(0,),当<时,都有>的是( ) A.= B.= C.= D. 5.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ) A.B. C.2 D.3 6.右图中为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,为该题的最终得分,当时,等于( ) A.11 B.10 C.8 D.7 7.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A. B. C. D. 8.函数的图像大致是( ) 9.设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B,的最小值等于( A.B.4 C.D.2 10.设是平面直角坐标系中两两不同的四点,若,,则称调和分割,已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( ) A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 注意事项: 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 12.若.(用数字作答) 13.若某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则此几何体的体积为 cm3. 14.函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为,其中、若,则的值是 . 15.某棋赛采用单循环赛(每两名选手均比赛一盘)方式进行,并规定:每盘胜者得1分,负者得0分,平局各得分、今有8名选手参加这项比赛,已知他们的得分互不相等,且按得分从高到低排名后,第二名选手的得分恰好是最后四名选手的得分之和、以下给出五个判断: ①第二名选手的得分必不多于6分; ②第二名选手的得分必不少于6分; ③第二名选手的得分一定是6分; ④第二名选手的得分可能是6.5分; ⑤第二名选手的得分可能是5.5分. 其中正确的判断的序号是 (填写所有正确判断的序号) 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分) 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为,已知,. (Ⅰ)求ABC的周长; (Ⅱ)求的值. 17.(本小题满分13分) 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个"平行班",每班50人、陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验、为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如图).记成绩不低于90分者为"成绩优秀" . (I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记"成绩优秀"的个数为,求的分布列和数学期望; (II)根据频率分布直方图填写下面2x2列联表,并判断是否有95%的把握认为:"成绩优秀"与教学方式有关. 甲班(A方式) 乙班(B方式) 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附:. 18.(本小题满分13分) 四棱锥的底面与四个侧面的形状和大小如图所示. (Ⅰ)写出四棱锥中四对线面垂直关系(不要求证明); (Ⅱ)在四棱锥中,若为的中点,求证:∥平面PCD; (Ⅲ)在四棱锥中,设面PAB与面PCD所成的角为,求值. 19.(本小题满分13分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距的两点各建一个考察基地、视冰川面为平面形,以过两点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(图).在直线的右侧,考察范围为到点的距离不超过的区域;在直线的左侧,考察范围为到两点的距离之和不超过的区域. (Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图所示,设线段,是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间. 20、(本小题满分14分) 已知函数. (Ⅰ)求的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论与的大小关系; (Ⅲ)是否存在,使得对任意成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由. 21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换. 已知矩阵的两个特征值分别为. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)求直线在矩阵所对应的线性变换作用下的像的方程. (2)(本小题满分7分)选修4一4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,是上的动点,点满足,点的轨迹为曲线. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为求. (3)(本小题满分7分)选修4一5:不等式选讲 设不等式的解集为. (Ⅰ)求集合; (Ⅱ)若,试比较与的大小. 参考答案 www.zxsx.com
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2012年普通高等学校招生全国统一考试·福建省高考考试说明 数学(理工农医类) Ⅰ.命题指导思想 普通高等学校招生全国统一考试,是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试. 2012年福建省高考数学(理科)的命题应以教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》、《2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科数学·课程标准实验·2012年版)》、《福建省普通高中新课程教学要求(数学)》为指导,以《2012年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学考试说明(试行)》(数学)为指导,以本《考试说明》为直接依据,并结合我省普通高中数学教学的实际进行.命题应有利于高校科学公正地选拔人才,有利于推进普通高中新课程,实施素质教育.命题应体现《普通高中数学课程标准(实验)》的理念,体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求,坚持能力立意,注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想,着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平,以及进入高等学校继续学习的潜能.命题应遵循以下命题原则: 一、贯彻课程理念,推进素质教育 命题要立足于《普通高中数学课程标准(实验)》,体现普通高中新课程的理念,准确理解和把握新课程标准的内涵与要求,考查对基础知识、基本技能的掌握程度和运用所学知识分析问题、解决问题的能力.重视数学素养的考查,关注科学技术和社会经济的发展,注重时代性和实践性,有利于高校科学公正地选拔人才;有利于激发学生学习数学的兴趣,促进素质教育的实施;有利于促进学生学习方式的转变,发挥高考命题对中学数学教学的正确导向作用,扎实推进我省普通高中新课程的顺利实施. 二、强化基础知识,注重整体设计 考查考生对基础知识的掌握程度,是数学高考的重要目标之一.对数学基础知识的考查,要求既全面,又突出重点.对于支撑数学知识体系的主干知识——函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体.对数学知识的考查要求全面,但不刻意追求知识点的百分比、知识内容的覆盖面,而是强调试题的综合性,注重学科的内在联系和知识的综合. 高考命题应从学科整体意义的高度去考虑问题,强调知识之间的交叉、渗透和综合,体现综合性,以检验考生是否具备一个有序的网络化的知识体系,并能从中提取相关的信息,有效、灵活地解决问题.命题应继承和发扬我省自行命题的成果和经验,在保持整体稳定的前提下,适度创新,注重试题的多样性和选择性.命题应科学设置探究性和开放性试题,体现对不同层次的考生的选拔.命题应合理分配必考、选考内容的比例,既考查考生的共同基础,又满足不同考生的选择需求.对选考内容的命题应做到各选考专题的试题分值相等,难度基本等值.试卷应具有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度. 鉴于我省新课程教材使用的多样性,命题务必充分体现公平性,试题必须适用于不同版本的教材.试题可以是取材于教材或课外参考资料中经过实质性改造后的问题,但切忌照搬任何教材或课外参考资料的原题或未经实质性改造过的题目.所设置的试题,特别是区分学生学习能力的把关试题应当关注解法的多样性,充分尊重学生在学习数学方面的差异,力求使得不同思维方式、思维层次的学生都能得到科学的评价.整份试卷的设计应合理,注重整体效应. 三、淡化特殊技巧,强调思想方法 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.因此,对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度.考查时,要从学科整体意义和思想含义上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度. 一般认为,中学数学基本思想是指渗透在中学数学知识与方法中具有普遍适应性的本质思想.中学数学涉及的数学思想主要有:函数与方程思想,数形结合思想,分类与整合思想,化归与转化思想,特殊与一般思想,有限与无限思想,或然与必然思想等.数学基本方法主要有:待定系数法、换元法、配方法、割补法等.数学逻辑方法或思维方法主要有:分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等.它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普通方法,对数学思想和方法的考查要结合数学知识多层次进行. 四、强调能力立意,突出问题解决 "以能力立意命题"是数学的学科特点和考试目标所决定的.高考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力,因此命题中应尽量避免编制刻板、繁难和偏怪的试题,避免编制死记硬背的内容和繁琐计算的试题,力图通过数学科的考试,不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平,而且要以数学知识为载体,测量考生将知识迁移到不同情境的能力,从而检测考生已有的和潜在的学习能力.命题应突出能力立意,对知识的考查侧重于理解和应用,力求突破固定的解答模式,要求考生抓住问题的实质,对试题提供的信息进行合理地分检、组合、加工,寻找解决问题的办法. 高考对能力的考查,应以抽象概括能力、推理论证能力为重点,全面考查各种能力,强调综合性、应用性,切合考生实际.运算求解能力是推理论证能力和运算技能的结合,它包括数的运算、式的运算;包括精算、近似计算与估算.对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主,同时要兼顾对算理和推理论证能力的考查.空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,图形的处理与图形的变换都要注意与推理相结合.数据处理能力主要是指能对收集到的相关数据,采用适当的方法进行整理、归纳、分析、解决问题.分析问题和解决问题的能力是上述几种基本数学能力的综合体现,对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础,加强思维品质的考查. 五、倡导学以致用,强化应用意识 加强应用意识的培养与考查是时代的需要,是教育改革的需要,同时也是数学科的特点所决定的.应用性问题主要是考查数学知识的实际应用.应用题的设计应贴近生活,联系实际,具有强烈的现实意义. 应用问题考查的重点是客观事物的数学化,这个过程主要是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问题转化为数学问题,并加以解决.命题时要坚持"贴近生活,背景公平,控制难度"的原则,要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度,要切合我省中学数学教学的实际,让数学应用问题的难度更加符合考生的水平,引导考生自觉地置身于现实社会的大环境,关心自己身边的数学问题,促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识. 六、提倡开放探索,关注创新意识 高考作为选拔性考试,应该偏重于能力测验,特别是能力倾向测验,适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识.因此,高考中可适当设置开放性、探索性试题,考查创新意识和探究精神.考查创新意识的问题应立足于中学数学,以中学数学的基础知识为基本素材,考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力. 考查创新意识的创新性试题可重点体现在情景、设问等方面.在设计考查创新意识的试题时,一方面,要积极探索,大胆实践;另一方面,应进一步研究试题的稳定性与创新性的关系,处理好试题创新与试题难度的关系,做到"不难不怪,难度适中". 七、体现层次要求,控制试卷难度 高考在考试目的、考试性质、考试内容和考试要求方面均不同于数学竞赛和普通高中学生学业基础会考.高考是要选拔部分合格高中毕业生升入高等院校深造,命题时应以知识为基础,多层次、多角度考查各种能力,试卷难度要适中,既要使一般考生都能得到基本分,又要使优秀学生的水平得以充分显现.根据我省高考的实际情况,整卷难度值应控制在0.6左右.试卷中各个试题的难度值一般控制在0.2~0.8之间,整份试卷中各种难度的试题分数的分布也应该适当.每种题型中都应编拟一些较易试题,使大部分考生都能得到一定的基本分;每种题型中也应编拟一些有一定难度的试题,以实现选拔的目的. Ⅱ.考试形式与试卷结构 一、考试形式 考试采用闭卷、笔试形式.考试时间为120分钟,全卷满分150分,考试不使用计算器. 二、试卷结构 考试内容包括必考内容和选考内容两部分. 必考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程和选修课程系列2的内容.选考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题的内容. 试卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为10个选择题,全部为必考内容;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两部分,必考部分由5个填空题和5个解答题组成;选考部分安排在第21题,作为解答题出现,由选修课程系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》等三个专题各命制1小题,考生从3小题中任选2小题作答,如果多做,则按所做的前两小题记分. 选择题共10题,每题5分,共计50分;填空题共5题,每题4分,共计20分;解答题共6题,其中必考题5题,选考1题(包含3小题,每小题7分,考生从中任选2小题作答,满分14分),共计80分. 选择题为四选一型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不必写出计算过程或推证过程;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 试卷应由容易题、中等题和难题组成,难度值在0.7以上的试题为容易题,难度值在0.4~0.7的试题为中等题,难度值在0.4以下的试题为难题,易、中、难试题的比例约为4:4:2,全卷难度值控制在0.6左右. 三、关于考试形式与试卷结构的说明 1.注重试卷整体设计,发挥结构效应 为发挥学科特点,体现高考的选拔功能,发挥整份试卷的区分作用,命题应注重试卷的整体设计.试卷的好坏取决于整张试卷产生的效应,而不仅仅是个别试题产生的效应,因此设计一份好的试卷不仅要编制好的试题,而且要注意试卷的整体结构,发挥整体效应. 试卷应兼顾数学知识和能力等方面,要有合理的知识结构和能力层次结构.知识结构是指试卷中包含学科各部分知识的比例,在编制双向细目表时,应根据各部分内容的教学时数和高考对考生知识结构的要求,综合平衡试卷中各部分知识内容的分值比例.试卷对能力要求的层次和比例,反映着考查的性质和要求.在高考中,应既考查数学能力,又考查一般认识能力,如观察力、注意力、记忆力等.由于新课程高考考试目标还包括基本数学方法以及按照一定程序与步骤进行运算、处理数据,绘制图表等基本技能的内容,因此还应注意结合各项知识考查数学方法与技能.将数学知识和能力有机结合,并融入具体试题,以便有效地全面检测考生的素质和潜能.同时应使试题编排合理,体现人性化和选拔功能的和谐统一. 2.合理确定试题梯度,体现试卷较好的区分度 根据我省高中发展和高校招生的实际情况,确定本学科试卷难度值为0.6左右.为使考生产生良好的心理效应,应充分发挥各种题型的功能.试卷中必考内容的难度按两级坡度设计,整卷是一个大坡度,而每种题型由易到难又是一个坡度.各种题型中起点试题的难度都应比较低,特别是在选择题部分,起点题水平应相当于普通高中学生学业基础会考的水平,其目的是测量全体考生对基础知识的掌握情况,为教学评价提供参考.选择题最后几题的备选项应有较大的迷惑性,以此来区分考生对基础知识掌握的深度和熟练运用的程度.解答题变一题把关为多题把关,解答题中必考部分的最后两题应分别考查不同的内容并设置一定的关卡,区分考生综合和灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力.由于选修课程系列4中的《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》是我省第一次作为选考内容进入高考试卷,应注意与实际教学相适应,控制好难度.难度定位为中等偏易.同时各选考专题的试题的分值应相等,并力求做到难度基本等值,体现考试的公平性. 在命题中应适当控制新颖试题的比例,要充分估计考生对试题的适应程度,有效地控制整卷难度,避免因为考生对新颖试题的不适应而导致发挥失常.同时还应控制试题的综合程度,适当降低起点试题的难度.试题的表述应注意运用考生熟悉的语言和表述方式,同时采用文字语言、图表、数学符号等多种数学语言,简明直观,有利于考生的阅读理解;试题背景应贴近考生的生活实际,让考生处于一个较为平和、熟悉的环境中,增强解题信心.要控制计算量,避免繁琐运算,一些貌似有较长运算过程的试题要有不同的解题思维层次,以区分不同思维层次的考生. 3.发挥各种题型的功能,充分体现新课程理念 今年的高考是我省实施普通高中新课程的首次高考,试题应体现新课程理念,在命题时应当注意教材的多样性,讲究取材,以确保试题的公平性.应适当顾及新增课程内容在试卷中的比例,重视"探究"与"思考"问题,让新课程中"倡导积极主动、勇于探索的学习方式和注重提高学生的数学思维能力"等基本理念得到有效落实. 从考查目标来看,高考强调在考查知识的基础上考查能力,因此需要一定数量的选择题和填空题以考查基础知识和基本技能,提高知识考查的覆盖面,考查考生敏锐地捕捉题设信息,迅捷地寻找合理的解题途径的解决问题能力,同时也增加考试的信度和效度. 解答题包括计算题、证明题和应用题等,能比较全面地反映考生学科智力水平,展示其分析数学问题、综合运用数学知识进行逻辑思维的过程,适合对发散、综合以及推理运算、文字表达等高层次能力的考查. 4.合理控制卷面字数和计算量 卷面字数指卷面印刷符号数量和考生答卷书写字符的总和.为使考生能尽快、无误地获取信息,题目叙述应简单明了,字母、符号、标点等都应正确运用并发挥其作用,在文字语言不能简明叙述或不能清楚表达时,应注意各种符号和图形的运用,减少生活语言对数学语言的干扰,合理控制卷面字数.高考应以考查能力、检测素养为主,试题应尽量避免繁、难的运算,控制各题的计算量,排除由于计算过多过繁造成耗时较多,或由计算错误而造成全题失分的现象,以便更好地考查考生的各种能力. 数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题,而计算量的大小是和全卷的工作量的大小密切相关的.实际上,控制全卷工作量的大小主要是由高考的性质决定的,一般来说应以50%的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准.这里所谓完成,不含复核时间,由于数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象,同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次,考生实际计算量的大小往往反映出考生能力水平的差异.计算量的估计应以一般通用解法为准. 高考应以考察能力、检测素养为主,试题应尽量避免帆、难的运算,控制各题的计算量,排除由于计算过多繁造成耗时较多,或由于计算错误而造成的全题失分的现象,以便更好地考查考生的各种能力. Ⅲ.考试目标与要求 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4的4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 对知识的要求由低到高分为三个层次,依次是了解、理解、掌握,且高一级的层次要求包括低一级的层次要求. 1.了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有:理解,描述,说明,表达,推测、想像,比较、判别,初步应用等. 3.掌握:要求能够对所列知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核,而且要对考生所学习的知识的内在联系、基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查.数学科的考试,按照"考查基础知识的同时,注重考查能力"的原则,确立以能力立意命题的指导思想.试题包括立意、情境和设问三个方面.以能力立意命题,就是首先确定试题在能力方面的考查目的,然后根据能力考查的要求,选择适宜的考查内容,设计恰当的设问方式.根据以能力立意命题的指导思想,命题应把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点,从测量学生的发展性学力和创造性学力着手进行,突出能力考查,发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用. 能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力 空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想像出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言,以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想像能力高层次的标志.对图形的想像,是指能根据图形想象出空间图形直观形象,包括对空间基本图形的识记、再现和思考;能从复杂的图形中区分出基本的图形,正确地分析出图形中基本元素及其相互关系. 立体几何是考查空间想像能力的主要载体,立体几何问题的解法一般有几何法与代数法两种,它们从不同的角度解决立体几何问题.向量具有几何形式和代数形式的"双重身份",是联系几何与代数的桥梁.用空间向量处理空间问题,空间元素间的位置关系转化为数量关系,形式逻辑证明转化为数值计算.由于思路清晰,降低了思维的难度,因此空间向量就成为处理空间问题的重要方法. 下面从识图与画图的结合、概念与推理的结合、对图形的处理等三个方面进行讨论. (1)识图与画图的结合.在立体几何中,强调对空间图形的整体认识和把握,从实物到图形,从三视图、直观图想像空间几何体,再从空间几何体的整体来把握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,因此识别图形就相当重要了.一方面,对基本的几何图形(平面或立体)要非常熟悉,能正确画图;另一方面,能正确识别图形,了解三视图和直观图的关系,分析几何图形中各元素在空间中的形状、大小和位置关系,突破习惯看平面图形的思维定势. 2.抽象概括能力 抽象概括能力:对具体、生动的实例,在抽象概括的过程中,发现研究对象的本质,从给定的大量信息中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断. 抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质属性的思维过程;概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象是一步一步逐级进行的,具有层次性的,而且往往是将前一层次看作后一层次的"具体". 通过抽象,揭示本质,发现规律,这是科学研究工作必须具备的基本修养,是数学学习过程中要培养的一种能力.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象与概括又是有区别的,其主要区别在于:概括过程中的对象保持不变,但对象的范围扩展了,并推广到同类的全体事物;而在抽象过程中,对象由具体的变为形式化的、一般化的. 高考主要从数学语言、数学模式与数学模型两方面对抽象概括能力进行考查. (1)数学语言.在逐次抽象的过程中,牢固的数学基础知识、必要的逻辑知识、数学语言是必不可少的工具. 因此,使用数学语言与符号的能力,是抽象概括能力的重要体现. 数学语言是数学化了的自然语言,是数学特有的形式化的符号体系.语言是思维的载体,思维需要用语言或文字表达.依靠数学语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来.数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言.在高考数学试题中,主要是用文字语言和符号语言,辅之以图形语言表述、呈现试题内容.高考中考查的重点是文字语言,并要求考生能够根据实际情况进行三种形式的语言间的转换.对语言的考查包括两方面的要求:一是要求考生读懂题目的叙述,把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑,以便于大脑加工;二是要求考生有一定的语言表达能力,能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程,并要求表达条理清晰,层次分明,没有逻辑错误,能准确规范地使用各种数学名词、术语和数学符号. 3.推理论证能力 推理论证能力:根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题真实性的初步的推理能力. 推理是思维的基本形式之一,它由前提和结论两部分组成;论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理;论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行证明. (1)演绎推理.演绎推理是从定义、定理出发进行分析、推理、论证,其重点是三段论推理,是进行数学证明的有力工具.它把一般前提下蕴含的性质揭露出来,使这些性质间的内在联系更清楚,对数学的形成和发展有重要的作用,因此演绎推理能力是数学能力的一个重要方面.高考对推理论证能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上,试卷中考查演绎推理的题型,既可使用选择题、填空题的形式,也可使用解答题的形式进行重点考查. (2)合情推理. 合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实践和实验的结果,以及个人的经验和直觉等猜测某些结果的推理过程.归纳和类比均属于合情推理.在解决问题的过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论;演绎推理用于验证结论的正确性.表面上看,学生在解决问题时的合情推理是不按逻辑程序去思考,但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的思维表现形式. 数学既需要严密的逻辑证明,也需要合情猜想与合情推理."猜"是直觉思维的产物,是发明创造的基础,是人的素质的标志.科学、合理的猜测是数学能力的体现. 正如数学教育家波利亚所说:数学有两个侧面,一方面它是欧几里得式的严谨科学,从这方面看数学是一门系统的演绎科学,但另一方面,创造过程中的数学,看起来更象一门试验性的归纳科学. 4.运算求解能力 运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算求解能力是中学数学中要求培养的重要能力,运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力. 对运算求解能力的考查不仅包括对数的运算,还包括对式的运算,兼顾对算理和推理论证的考查.对考生运算求解能力的考查主要是以含字母的式的运算为主,包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列的计算、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等.运算结果具有存在性、确定性和最简性. 运算求解能力是一项基本能力,在代数、立体几何、平面解析几何、概率与统计等方面都有所体现.在高考中多数题目的解决需要运算,运算的作用不仅是只求出结果,有时还可以辅助证明.运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力.高考对运算求解能力的考查应注重算理和符号运算考查,合理控制计算量,注意精确计算与合理估算结合. (1)运算的合理性.运算的合理性是运算能力的核心.一般一个较复杂的运算,往往是由多个简单的运算组合而成的.能正确确定运算目标,将各部分有机地联系在一起,这是运算合理性的主要标志,是提高运算求解能力的重要因素.运算的合理性表现在运算要符合算理,运算过程的每一步变形都要有所依据,或依据概念,或依据公式,或依据法则,可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现.运算过程包含着思维过程,运算离不开思维.随着计算机和计算器技术的发展和普及,只要能设计出运算程序,计算机就能够完成相应的计算,而且高效、快捷、准确.因此时,运算求解能力的考查重点应考查算理. 运算的合理性首先表现在运算目标的确定上.运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等,有时还是完成推理和判断的工具.对一些比较直接、简单的运算目标一般比较容易把握,但对一些比较复杂的运算目标,需要经过多步运算才能得到最终结果,学生一般都感到困难.如在进行三角恒等变形时,变形的目的性不明确,滥用公式,把有关的三角公式都写上,分辨不出用公式的目的;研究函数的单调性时,不懂得先对函数求导,然后考察导函数的正负取值,特别地,当含有参数时不懂得对参数进行讨论;在求曲线的轨迹方程时,对如何消去方程组中的参数,确定运算目标问题把握不准等.运算的合理性还表现在运算途径的选择上.合理选择运算途径不仅是迅速运算的需要,也是运算准确性的保证. 运算的步骤越多,越繁琐,出错的可能性也就越大.因而,根据问题的不同条件和特点,合理选择运算途径是提高运算能力的关键.灵活地运用公式、法则和有关的运算律,掌握同一个问题的多种运算方法和途径,善于通过观察、分析、比较,将有助于作出合理的选择.因此,对运算求解能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质(如思维的灵活性、敏捷性、深刻性)的考查. (2)运算的准确性.运算的准确性是运算求解能力的基本要求,要求考生根据算理和题目的运算要求,有根有据地一步一步地实施运算.影响运算准确的因素是多方面的,数学中的定义、公理、定理、公式、法则和定律等是运算的依据,只有准确地理解概念,熟练地掌握运算法则和运算定律,才能使运算顺利进行.只要在运算过程的某一个环节出现问题,就会导致整个运算的错误,因此,在运算过程中使用的概念、公式、法则等都要准确无误,才能保证运算结果的准确性. (3)运算的熟练性.运算的熟练性是对考生思维敏捷性的考查.思维敏捷性是在诸多思维特征中具有创新意义的一个重要思维特征,也是思维个性品质的一个重要层面.在高考中考查运算能力,一般不是增大每题的运算量,而是通过合理控制题目数量、控制每题的运算量,增加思考强度和思维深度来实现的.控制题目数量和每题的运算量,可以给考生以充裕的时间去思考如何进行计算,而不是把时间花在冗长的计算过程和运算符号、文字的书写上.过难、过繁的计算将消耗考生的时间和精力,影响对基本概念、方法,特别是思维能力的考查. (4)运算的简捷性.运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省.运算的简捷是运算合理性的标志,是运算速度的要求. 高考对运算简捷性的考查,主要体现在运算过程中概念的灵活应用,公式的恰当选择,数学思想方法的合理使用等.其中数形结合思想,函数与方程思想,化归与转化思想,换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用.运算的简捷性是对考生思维深刻性、灵活性的考查. 通过比较不难发现,不同的运算途径,所获得方程不同,虽然都能达到运算的目标,但计算的难易程度及相应的计算量的差异较大.思路二是灵活利用椭圆的定义解题,要比其他方法简捷得多.思路三的计算量偏大,可能导致计算结果出错,或计算到中途放弃. 5.数据处理能力 数据处理能力:会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题. 数据是由实验、观测或其它方法所收集得到,而收集的数据通常是分散的,一般缺乏系统和次序,它们所遵循的规律往往不能一目了然,因此,必须去粗取精,去伪存真,对数据作科学的整理和归纳,方能显露出这一批数据所遵循的规律. 对现实生活的许多问题的研究,一般先获取数据,并对数据用列表或作图等方法进行分析,再结合数学、物理、化学等自然科学的知识,采用某个数学模型来刻画它,通过对该模型的研究,发现该类问题具有的属性,并对它作出决策和判断. 数据处理一般需要以下三步: 第一步: 将收集到的数据资料加以整理和归纳,用列表、作图等方法,并借助于少数几个简单的特征数字,把这些数据的主要特点表现出来; 第二步:将整理、归纳后所得到的数据资料加以分析,发掘这些数据资料所遵循的规律; 第三步:依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,抽取对研究问题有用的信息,并作出判断. 6.应用意识 应用意识:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题;能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,构造数学模型,并加以解决. 应用意识是将客观事物数学化的意识,是指从语言叙述的现实问题出发,经过数学思考,提炼出相关的数量关系,将现实问题转化为数学问题,并通过构造数学模型,综合应用所学的中学数学知识、思想和方法加以解决的意识.应用的背景、范围包括数学自身的应用,数学在物理、化学、生物等相关学科中的应用,以及在生产、生活中的简单应用. 对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式,要求考生能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用相关的数学方法解决问题,并加以验证;能用数学语言正确地表述和说明.应用题的命制要坚持"贴近生活,背景公平,控制难度"的命题原则,即设计的应用问题要考虑考生的年龄特点、实践经验、地区差别,要符合中学数学教学的实际情况,不宜太难. 由于应用题给出的方式采用的是材料的陈述,而不是客体的展示,也就是说,考查时所提出的问题,通常是已进行过初步加工,并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前,要求考生读懂、看懂.因此,对阅读数学材料的能力有较高的要求,包括普通语言的阅读理解能力和数学语言的文字表达能力,特别是普通生活语言的理解、抽象和转化为数学语言的能力. 发展数学应用意识,力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断,是时代发展的需要,是教育改革的需要,同时也是数学学科的特点所决定的.随着科技的发展和社会的进步,数学这门学科得到了越来越广泛的应用.无论在科学、工程、经济乃至现实生活的各个领域,人们到处都可以发现数学不可低估的重要作用.因此,数学能力将是人的素质的极其重要的组成部分.高考作为培养未来人才的选拔性考试,应当面对社会现实.正是这个深层次的原因,使得高考强调、重视数学应用. 在考查应用意识时,应注意如下若干问题: ①导向性:数学应用不能单纯满足于课本应用问题的变形,应当让应用问题更加贴近现实的生活实际,引导考生置身于现实社会生活之中,关心自己身边的数学问题,关心社会的发展和进步.数学科高考应重视考查有着深刻现实背景的应用问题,选编的数学应用问题,应在思想内容上富有时代信息,有教育价值,并注重科学性,有助于中学素质教育. ②有效性:要密切结合学生生活实际,立足本学科的重点内容,突出学科本质,突出数学在解决实际问题时的应用价值.试题是以问题为中心,而不是以知识为中心,要有适当的难度和计算量,对处理问题的灵活性和机敏性有一定的考查要求,能够考查考生分析问题解决问题的能力. ③综合性:问题所涉及的数学知识和方法要有一定的深度和广度,具有综合性,解答时从分析、思考到求解,需要综合应用所学数学知识、思想和方法. ④恰当性:要注意应用题的难度控制.数学应用题从易到难,大致可分为以下四个不同的层次:(a) 数学模型已给出,可直接套公式计算;(b) 数学模型没有给出,但可以利用现成的数学模型对应用问题进行定量分析;(c) 数学模型没有给出,但问题是已经过加工提炼、数学量已确定,已知量、未知量比较清楚的实际问题;(d)原始的实际问题.对于以上四个层次,直接套用公式计算与实际背景关系不大,达不到考查应用的目的;而直接面对原始的实际问题则又要求过多的实际经验与其他方面的专门知识,以致数学的应用反降为次要,也达不到考查应用的目的.我们认为应用问题不完全等同于实际问题,在解决应用问题或将实际问题抽象为数学问题的过程中所涉及的有关知识和方法应该是考生已经学过的.因此,宜以上述(b)、(c)两个层次来设计应用题,以避免脱离当前的教学实际. ⑤公平性:背景公平、评分客观.为保证考试的公平性,应用题叙述应简明易懂,所涉及的实际问题情境对所有考生都应是公平的.在编拟应用题时应注意:一方面在考场上,考生的思考时间是有限的;另一方面为了表述清楚应用情境,便于考生理解抽象的数学关系,通常应用问题的叙述较长,考生需要较长时间理解题意.因此题目的叙述应当明确,避免歧义,便于考生理解. 应用问题都有一定的实际背景,因此需要考虑的条件较多,解决问题的方法一般也是在综合考虑各方面的限制条件后的结果,解决的方法一般不唯一.为保证评卷客观、公正,便于操作,控制评分误差,命题时应适当地限制一些条件,且有明确的评分标准. 7.创新意识 创新意识:能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题. 创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的"观察、猜测、抽象、概括、证明",是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识越强. 数学教育的目的不只是让学生掌握一些知识,也不是把每个人都培养成数学家,而是把数学作为探索自然现象、社会现象的基本规律的工具和语言,通过数学的学习和训练,在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质,形成科学的世界观和方法论.因此,高考对创新意识的考查,主要是要求考生不仅能理解一些概念、定义,掌握一些定理、公式,更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题.高考对应用意识和创新意识的考查,其意义已超出了数学学习,对提高考生的学习能力、工作能力和数学素养都有重要的意义. 具有创新性质的思维活动表现为: ①能从题目的条件中提取有用的信息,从题目的求解(或求证)中考虑需要的信息. ②能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息,作为解决问题的依据,推动①中信息的延伸. ③将①,②中获得的信息联系起来,进行加工、组合,主要是通过分析和综合,一方面从已知到未知,另一方面从未知到已知,寻找正反两个方向的知识"衔接点"——一个固有的或确定的数学关系. ④将③中的思维过程整理,形成一个从条件到结论的行动序列. 高考中对创新意识的考查要求考生能够将能力要素进行有机的组合.能力要素的有机组合首先是各种能力的综合,但又不是所有能力要素的综合,是解题所需的能力要素的组合.它包括观察能力、记忆能力、理解能力、分析能力和运用知识的能力等,以及空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力的综合运用. 对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查,在考试中常常通过创设一些比较新颖的问题情境,构造一些具有一定深度和广度、能体现数学素质的数学问题,着重考查数学主体内容.这类问题一般都注重问题的多样化,体现思维的发散性,反映数、形运动变化的特点. 当然,高考对创新意识的考查必须控制在一定的范围和层次上,以避免脱离当前的教学实际.这主要体现在以下两点:首先,所设计的试题应是能使用中学数学知识和高中毕业生应当具备的基本常识所能解决的相关问题;其次,问题给出的方式采用的是材料的陈述,而不是客体的展示,也就是说,考查时所提出的问题,通常已进行过初步加工,并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前,要求考生读懂、看懂.因此,对阅读、理解数学材料的能力有较高的要求. 三、数学思想方法 1.函数与方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质(定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性等),使问题得到解决.函数思想贯穿高中代数的全部内容,它的形成是建立在初中学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的基础上,通过高中幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的学习得以逐步提高,并在解决实际问题中得到深化,且在研究方程、不等式、数列、解析几何中发挥重要作用. 方程思想是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决. 函数与方程是相互联系的,在一定条件下,它们可以相互转化,如解方程就是求函数的图象与轴交点的横坐标;方程的解就是函数与的图象交点的横坐标.函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征,运用函数思想解题,重在对问题中的变量的动态研究,从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路;而方程思想则是动中求静,研究运动中的等量关系.函数思想与方程思想常常是相辅相成的,函数的研究离不开方程.列方程(组)、解方程(组)和研究方程(组)的特性,都是应用函数与方程思想时需要重点考虑的. 高考对函数与方程思想的考查,通常使用选择题和填空题考查函数与方程思想的简单应用,而在解答题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力综合的角度进行较为深入的考查. 函数思想不仅仅是使用函数的方法研究解决函数的问题,更重要的是构建函数关系,用函数的方法研究解决非函数问题.因此,可以认为函数思想的精髓是构建函数关系,利用函数的有关性质解决问题. 2.数形结合思想 数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面. 数形结合是数学解题中常用的思想方法,运用数形结合思想,使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程. 实现数形结合,通常有以下途径:①实数与数轴上的点的对应关系;②有序数组与坐标平面(空间)上的点的对应关系;③函数与图象的对应关系;④曲线与方程的对应关系;⑤以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如向量、复数、三角函数等;⑥所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 运用数形结合研究数学问题,加强了知识的横向联系和综合应用,对于沟通代数与几何的联系,具有指导意义.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果.数形结合的重点是研究"以形助数",这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野. 数形结合思想除了在解选择题、填空题中能显其优越,对一些解答题,通过画图,往往能激发解题灵感.如函数的解答题,在解答书写的过程中,一般不必画出函数图象,但解题思路又必须依赖于函数图象,这是在解答题中考查数形结合思想的一种形式. 3.分类与整合思想 在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况;解到某一步之后,发现问题的发展是按照不同的方向进行的.当被研究的问题包含了多种情况时,就必须抓住主导问题发展方向的主要因素,在其变化范围内,根据问题的不同发展方向,划分为若干部分分别研究.这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究的基本方向是"分",但分类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种"合—分—合"的解决问题的思想,就是分类与整合思想. 分类与整合思想不仅是解决数学问题的常用方法,也是其他自然科学和社会科学研究的基本逻辑方法.高考把对分类与整合思想的考查放在比较重要的位置,并以解答题为主进行考查.分类与整合思想通常以概念的划分、集合的分类为基础.对分类与整合思想的考查,主要有以下几个方面:一是分类意识,即什么情况下需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类要标准统一,不重不漏;三是分类之后如何科学地研究;四是如何合理地整合. 培养分类意识,应知道哪些问题需要分类,在什么情况下应该分类,以提高思维的逻辑性和严密性.在考虑分类时,通常应关注以下几点: ①有些概念就是分类定义的,如绝对值的概念等. ②有的运算法则和定理、公式是分类给出的,例如等比数列的求和公式就分为和两种情况;指数、对数函数的单调性就分为,两种情况;求一元二次不等式的解又分为,及,,几种情况;等等. ③图形位置的相对变化也会引起分类,例如两点在同一平面的同侧、异侧,二次函数图象的对称轴相对于定义域区间的不同位置等. ④一些题目(如排列组合的计数问题、概率问题等),要按题目的特殊要求,分成若干情况研究. 4.化归与转化思想 化归与转化思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.数学题中的条件与条件、条件与结论之间存在着差异,差异即矛盾,解题过程就是有目的地不断转化矛盾,最终解决矛盾的过程. 化归与转化思想是解决数学问题时经常使用的基本思想方法,其本质含义是:在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上,而是去寻觅、追溯一些熟知的结果,由此将问题化难为易,化繁为简,化大为小,各个击破,达到最终解决问题的目的.解题过程具有灵活性与多样性的特点.化归变换原则的结构中蕴含着三个基本要素,即变换的对象、目标和方法.变换的对象就是待解决问题中需要变更的问题,变换的目标是指所要达到的规范问题,变换的方法就是规范化的手段、措施和技术.变换的方法是实现变换的关键.一个数学问题,我们可以视其为一个数学系统或数学结构,组成其要素之间的关系是可变的,但寻求变形的方法并不唯一.所以,应用数学变换的方法去解决有关数学问题时,就没有一个统一的模式可以遵循,需要我们依据问题本身所提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行选择,做到生疏变换成熟悉、复杂变换成简单、抽象变换成直观、含糊变换成明朗. 高考中十分重视对化归与转化思想的考查,要求考生熟悉数学变换的思想,在变换思想指导下,针对面临的数学问题,实施或变换问题的条件,或变换问题的结论,或变换问题的内在结构,或变换问题的外部表现形式去灵活解决有关的数学问题.高考中重点考查一些常用的变换方法,如一般与特殊的转化,繁与简的转化,命题的等价转化,空间图形与平面图形的转化,数与形的转化等等. 5.特殊与一般思想 人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的.通过对某些个体的认识与研究,逐渐积累对这类事物的了解,逐渐形成对这类事物总体的认识,发现特点,掌握规律,形成共识,由浅入深,由现象到本质,由局部到整体,这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程.但这并不是目的,还需要用理论指导实践,用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题,这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程,就是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外,这种由特殊到一般,由一般到特殊的研究数学问题的思想,就是数学研究中的特殊与一般思想. 在数学学习过程中,对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始,通过归纳总结得出结论,经过证明后,又利用它们来解决相关的数学问题.在数学学习中经常使用归纳、演绎等方法分析、探索数学问题中的规律和结论,这些方法就是特殊与一般思想方法的集中体现,也是高考考查的重点之一.在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题,如曾设计过利用归纳的方法进行猜想的试题;设计过由平面到空间、由空间到平面,通过特殊和一般进行类比猜想的试题;选择题中还特别着重考查特殊与一般思想,突出体现特殊化方法的作用.通过构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点,确定特殊位置,利用特殊值、特殊方程等,研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题,等等. 为了判断命题的真假,只要能找出一种特殊情况,也即"有可能是",结论即是正确;反之,对一般情况都不成立,也就对"有可能是"进行了否定.此题很好地体现了特殊与一般思想. 6.有限与无限思想 有限与无限相比,有限显得具体,无限显得抽象,对有限的研究往往先于对无限的研究,对有限个对象的研究往往有章法可循,并可以积累一定的经验.而对无限个对象的研究,却往往不知如何下手,显得经验不足,于是将对无限的研究转化成对有限的研究,就成了解决无限问题的必经之路.反之当积累了解决无限问题的经验之后,可以将有限问题转化成无限问题来解决.这种无限化有限,有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想. 在数学学习过程中,虽然开始学习的数学都是有限的数学,但其中也包含有无限的成分,只不过没有进行深入的研究.在学习有关数及其运算的过程中,对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是研究有限个数的运算,但实际上各数集内元素的个数都是无限的,以上数集都是无限集.对图形的研究,知道直线和平面都是可以无限延伸的.利用导数研究函数的有关问题、双曲线的渐近线等,都渗透了有限与无限思想. 高考中对有限与无限思想的考查,既可单独考查,亦可在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想.例如,在使用由特殊到一般的归纳思想时,含有有限与无限的转化思想;在使用数学归纳法证明时,解决的是无限的问题,体现的也是有限与无限思想,等等. 7.必然与或然思想 世间万物是千姿百态、千变万化的,人们对世界的了解、对事物的认识是从不同侧面进行的,人们发现事物或现象可以是确定的,也可以是模糊的,或随机的.为了了解随机现象的规律性,便产生了概率论的数学分支.概率是研究随机现象的学科,随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机性,即重复同样的试验,所得到的结果未必相同,以至于在试验之前不能预料试验的结果;二是频率的稳定性,即在大量重复试验中,每个试验结果发生的频率"稳定"在一个常数附近.了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果,知道每个结果出现的概率.知道这两点就说明对这个随机现象研究清楚了.概率研究的是随机现象,研究的过程是在"偶然"中寻找"必然",然后再用"必然"的规律去解决"偶然"的问题,这其中所体现的数学思想就是或然与必然思想. 高考中对概率与统计的考查已放在了重要的位置.通过对随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望值和方差,抽样方法,总体分布的估计等重点内容的考查,一方面考查基本概念和基本方法,另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辨证关系,从而体现了或然与必然思想. 四、个性品质要求 个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野,认识数学的科学价值和人文价值,崇尚数学理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义. 要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神. Ⅳ.考试内容 一、考试内容及要求 根据普通高等学校对理科学生数学素养的要求,按照既保证与全国普通高校招生统一考试的要求基本一致,又有利于我省实施普通高中数学新课程的原则,参照教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》、《普通高等学校招生全国统一考试考试大纲(课程标准实验版)》和省教育厅颁布的《福建省普通高中新课程选修Ⅰ课程开设指导意见(试行)》、《福建省普通高中新课程教学要求(数学)》,结合我省普通高中数学教学实际,确定我省高考理科数学考试内容.将考试内容分为必考内容和选考内容.必考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程和选修课程系列2的内容;选考内容为《普通高中数学课程标准(实验)》的选修课程系列4的4—2《矩阵与变换》、4—4《坐标系与参数方程》、4—5《不等式选讲》等三个专题的内容. 必考内容与要求 1.集合 (1)集合的含义与表示 ① 了解集合的含义、元素与集合的"属于"关系. ② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. (2)集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义. (3)集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③ 能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 2.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数 ① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型. ④ 了解指数函数与对数函数互为反函数(). (4)幂函数 ① 了解幂函数的概念. ② 结合函数的图象,了解它们的变化情况. (5)函数与方程 ① 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. ② 根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. (6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征;知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. ② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 3.立体几何初步 (1)空间几何体 ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. ③ 了解平行投影与中心投影,了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (2)点、直线、平面之间的位置关系 ① 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 4.平面解析几何初步 (1)直线与方程 ① 在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. ④ 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. (2)圆与方程 ① 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ② 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. (3)空间直角坐标系 ① 了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. ② 会推导空间两点间的距离公式. 5.算法初步 (1)算法的含义、程序框图 ① 了解算法的含义,了解算法的思想. ② 理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环. (2)基本算法语句 理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 6.统计 (1)随机抽样 ① 理解随机抽样的必要性和重要性. ② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法. (2)总体估计 ① 了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,了解它们各自的特点. ② 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. ④ 会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. ⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. (3)变量的相关性 ① 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. ② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(不要求记忆线性回归方程系数公式). 7.概率 (1)事件与概率 ① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. ② 了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型 ① 理解古典概型及其概率计算公式. ② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. (3)随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ② 了解几何概型的意义. 8.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念. ② 了解弧度制概念,能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数 ① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切,及的正弦、余弦的诱导公式,能画出,,的图象,了解三角函数的周期性. ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 轴的交点等);理解正切函数在区间的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式:,. ⑤ 了解函数的物理意义;能画出的图象,了解参数对函数图象变化的影响. ⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单的实际问题. 9.平面向量 (1)平面向量的实际背景及基本概念 ① 了解向量的实际背景. ② 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. ③ 理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算 ① 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ② 掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义;理解两个向量共线的含义. ③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义. ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积 ① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (5)向量的应用 ① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 10.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. ③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 11.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 12.数列 (1)数列的概念和简单表示法 ① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式. ③ 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 13.不等式 (1)不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ② 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决,但求解过程不要求对最优解进行取整调整. (4)基本不等式:. ① 了解基本不等式的证明过程. ② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 14.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ① 了解命题的概念. ② 了解"若p,则q"形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. ③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. (2)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义. (3)全称量词与存在量词 ① 理解全称量词与存在量词的意义. ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 15.圆锥曲线与方程 (1)圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率). ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). ④ 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、准线、离心率). ⑤ 掌握直线与圆锥曲线的位置关系;能解决圆锥曲线的简单应用问题. ⑥ 理解数形结合的思想. (2)曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 16.空间向量与立体几何 (1)空间向量及其运算 ① 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ② 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量. ② 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. ③ 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). ④ 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用. 17.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景. ② 理解导数的几何意义. (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数的导数. ② 能利用下列给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如)的导数. 常见基本初等函数的导数公式: (为常数);,();;; ;(且;;(且. 常用导数运算公式: 法则1:. 法则2:. 法则3: . (3)导数在研究函数中的应用 ① 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些简单的实际问题. (5)定积分与微积分基本定理 ① 了解定积分的实际背景;了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. ② 了解微积分基本定理的含义. 18.推理与证明 (1)合情推理与演绎推理 ① 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. ② 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. (2)直接证明与间接证明 ① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点. (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理及其使用范围,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 19.数系的扩充与复数的引入 (1)复数的概念 ①理解复数的基本概念. ② 理解复数相等的充要条件. ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义. (2)复数的四则运算 ① 会进行复数代数形式的四则运算. ② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 20.计数原理 (1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. ② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. (2)排列与组合 ① 理解排列、组合的概念. ② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③ 能解决简单的实际问题. (3)二项式定理 ① 能用计数原理证明二项式定理. ② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 21.概率与统计 (1)概率 ① 了解分布列对于刻画随机现象的重要性;理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,会求取有限个值的离散型随机变量的分布列. ② 理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. ⑤ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. (2)统计案例 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求2*2列联表)的基本思想、方法及其简单应用. (2)假设检验 了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用. (3)回归分析 了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 选考内容与要求 1.矩阵与变换 (1)二阶矩阵 了解二阶矩阵的概念. (2)二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 ①了解矩阵与向量的乘法的意义,会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法. ② 理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点),即. ③ 了解几种常见的平面变换:恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换. (3)变换的复合——二阶方阵的乘法 ① 了解矩阵与矩阵的乘法的意义. ② 理解矩阵乘法不满足交换律. ③ 会验证二阶方阵乘法满足结合律. ④ 理解矩阵乘法不满足消去律. (4)逆矩阵与二阶行列式 ① 理解逆矩阵的意义,懂得逆矩阵可能不存在. ② 理解逆矩阵的唯一性和 等简单性质,了解其在变换中的意义. ③ 了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵. (5)二阶矩阵与二元一次方程组 ① 能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义. ② 会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组. ③ 理解线性方程组解的存在性、唯一性. (6)变换的不变量 ① 掌握矩阵特征值与特征向量的定义,理解特征向量的意义. ② 会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形). (7)矩阵的应用 利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示,并能用它来解决问题. 2.坐标系与参数方程 (1)坐标系 ① 了解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,了解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,了解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. (2)参数方程 ① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 3.不等式选讲 (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ① ; ② ; (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ;;. (3)了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. ① 柯西不等式的向量形式:. ② . ③ (通常称作三角不等式). (4)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:. (5)会用向量递归方法讨论排序不等式. (6)会用数学归纳法证明贝努利不等式:且,为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立. (7)会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式证明一些简单问题;能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. (8)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 二、若干问题的说明 1.关于主干知识的说明 (1)函数和导数 函数和导数知识主要包括函数的概念、图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,导数及其应用等.高中数学中的许多知识都可以与函数建立联系,并且可围绕函数这一主线展开.高中数学中函数知识的学习,突出基础性和综合性,是培养学生的数学思想、理性思维以及数学学习潜能的重要素材. 函数是高考考查能力的重要素材,以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重.这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.一般说来,选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识,关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透,着力体现概念性、思辨性和应用意识.解答题大多以基本初等函数为载体,综合应用函数、导数、方程、不等式等知识,并与数学思想方法紧密结合,对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查,体现了能力立意的命题原则.这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位. 在中学引入导数知识,为研究函数的性质提供了简单有效的方法.解决函数与导数结合的问题,一般有规范的方法,利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤,具有较强的可操作性.高考中,函数与导数的结合,往往不是简单地考查公式的应用,而是与数学思想方法相结合,突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等,所考查的问题具有一定的综合性. 函数的奇偶性与单调性是函数性质考查的重要内容,几乎每年的高考试题都会涉及到相关的知识.函数的奇偶性表达的是函数图象的对称性,常常与函数图象的变换相结合;函数的单调性表达的是函数图象的变化趋势,常常与函数的导数相关联.利用导数工具研究函数的单调性、极值和函数图象的切线等内容,体现了函数与导数的交汇. (2)数列 数列知识主要包括等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式.数列作为一种离散型的特殊函数,是反映自然规律的基本数学模型.数列问题重视归纳与类比方法的应用,并用有关知识解决相应的问题.数列是考查化归与转化思想、分类与整合思想、合情推理与演绎推理的重要素材. 在历年高考中,往往把数列当作重要的内容来考查.在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中,关注概念辨析以及等差、等比数列的"基本量法";在考查数列的综合问题时,对能力有较高的要求,试题有一定的难度和综合性,常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起,涉及化归与转化、分类与整合等数学思想. 在考查相关知识内容的基础上,高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上.使用选择题、填空题形式考查数列的试题,往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法.使用解答题形式考查数列的试题,其内容往往是一般数列的内容,其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法,并且往往不单一考查数列知识,而是与其他内容相结合,体现对解决综合问题的考查力度.数列综合题有一定的难度,对能力有较高的要求,对合理区分出较高能力的考生起到重要作用.理科试卷侧重于理性思维的考查,试题设计通常以一般数列为主,着重考查抽象思维和推理论证能力. 数列问题在考查演绎推理中发挥着重要的作用.在高考的数列试题中,有的是从等差数列或等比数列入手构造新的数列,有的是从比较抽象的数列入手,给定数列的一些性质,要求考生进行严格的逻辑推证,找到数列的通项公式,或证明数列的其他一些性质.在这里,虽然也有一些等差或等比数列的公式可以应用,但更多的是应用数列的一般性质,如(n≥2)等.这些问题对恒等证明能力提出了较高的要求,要求考生首先明确变形目标,然后根据目标进行恒等变形.在变形过程中,不同的变形方法可能简化原来的式子,也可能使其更加复杂,所以还存在着变形路径的选择问题. (3)三角函数 三角函数是继指数函数、对数函数、幂函数之后学习的又一基本初等函数,主要包括三角函数定义,同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,三角函数的图象与性质,解三角形及其应用. 一般来说,单独考查三角函数内容的试题,以三角函数定义,同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式等为工具,研究化简求值,以及三角函数的图象与性质等内容. 在学习三角函数时,学习了函数的奇偶性和周期性,进一步深化了对函数的概念与性质的认识.因此,在高考中突出考查它的图象与性质,尤其是形如y=Asin(ωx+)的函数图象与性质.对三角公式和三角变形的考查通常与三角函数的图象和性质相结合,或直接化简求值.在化简求值的问题中,不仅考查考生对相关公式掌握的熟练程度,更重要的是以三角公式为素材,重点考查相关的数学思想和方法,主要是函数与方程思想和化归与转化思想. 三角函数知识集知识性、工具性于一体,学习过程中不仅要重视相关知识的理解和记忆,更应当重视三角函数的图象和性质的探究,关注三角知识的应用,关注解三角形及其应用. (4)立体几何 立体几何主要包括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图,点、直线、平面的位置关系,空间向量及其应用等. 高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.一般说来,选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解,考查画图、识图、用图的能力;解答题一般以简单几何体为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题,综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的同时,关注对平行、垂直关系的探究,关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究. 在立体几何中,很多问题可以通过建立空间坐标系,将几何元素间的关系数量化,进而利用向量的方法,通过计算解决.空间向量在涉及平行与垂直关系的探究,直线与直线、直线与平面的成角以及二面角的计算等问题上具有一定的优势. (5)解析几何 解析几何是高中数学的又一重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系.用向量方法研究解析几何问题,主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及成角.平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材. 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.因此,在解题的过程中计算占了很大的比重,对运算求解能力有较高的要求.计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行,合理利用曲线的定义和性质将计算简化,讲求运算的合理性,如"设而不求"、"整体代换"等. 解析几何试题应淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查. (6)概率与统计 概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等. 概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识. 概率与统计的引入,拓广了应用问题取材的范围,概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用. 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的,考虑到目前教学实际和学生生活实际,高考对这一部分内容的考查应贴近学生生活,注重考查基础知识和基本方法. 2.关于选考内容的说明 根据我省的教学实际,选考部分试题的难度定位在中等偏易水平. (1)矩阵与变换 《矩阵与变换》主要包括二阶矩阵、逆矩阵、二阶方阵的特征值和特征向量等,着重考查矩阵的乘法、二阶矩阵(对应行列式不为零)的逆矩阵,考查二阶方阵的特征值和特征向量的求法(只要求特征值是两个不同实数的情形),考查矩阵变换的性质及其几何意义,考查平面图形的变换等. (2)坐标系与参数方程 《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容.坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想,以及两种坐标的关系与互化;极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程;球坐标系和柱坐标系只做简单的了解,不宜拓宽、拔高要求.参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程,能进行普通方程与参数方程的互化,并会选择适当的参数,用参数方程表示某些曲线,解决相关问题. 参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点. (3)不等式选讲 《不等式选讲》主要包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.主要考查绝对值不等式的解法,不等式证明及其应用.要求学生了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法,会用这些方法证明一些简单的不等式,考查推理论证能力和分析解决问题能力,对恒等变形不作过高要求.绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式的应用只要求会用它们证明一些简单问题和求一些特定函数的极值,应注意控制难度. Ⅴ.参考试卷 2012年普通高等学校招生全国统一考试·福建省考试说明·参考试卷 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题.满分150分. 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的"准考证号、姓名"与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上数学作答,在试卷上作答,答案无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据x1,x2,…,xn的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中S为底面面积,h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 , 其中S为底面面积,h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集U=R,集合,则等于( ) A.B. C. D. 3.如果等差数列中,( ) A.14 B.21 C.28 D.35 4.下列函数中,满足"对任意,(0,),当<时,都有>的是( ) A.= B.= C.= D. 5.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( ) A.B. C.2 D.3 6.右图中为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,为该题的最终得分,当时,等于( ) A.11 B.10 C.8 D.7 7.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A. B. C. D. 8.函数的图像大致是( ) 9.设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B,的最小值等于( A.B.4 C.D.2 10.设是平面直角坐标系中两两不同的四点,若,,则称调和分割,已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( ) A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 注意事项: 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 12.若.(用数字作答) 13.若某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则此几何体的体积为 cm3. 14.函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为,其中、若,则的值是 . 15.某棋赛采用单循环赛(每两名选手均比赛一盘)方式进行,并规定:每盘胜者得1分,负者得0分,平局各得分、今有8名选手参加这项比赛,已知他们的得分互不相等,且按得分从高到低排名后,第二名选手的得分恰好是最后四名选手的得分之和、以下给出五个判断: ①第二名选手的得分必不多于6分; ②第二名选手的得分必不少于6分; ③第二名选手的得分一定是6分; ④第二名选手的得分可能是6.5分; ⑤第二名选手的得分可能是5.5分. 其中正确的判断的序号是 (填写所有正确判断的序号) 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分) 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为,已知,. (Ⅰ)求ABC的周长; (Ⅱ)求的值. 17.(本小题满分13分) 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个"平行班",每班50人、陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验、为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如图).记成绩不低于90分者为"成绩优秀" . (I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记"成绩优秀"的个数为,求的分布列和数学期望; (II)根据频率分布直方图填写下面2x2列联表,并判断是否有95%的把握认为:"成绩优秀"与教学方式有关. 甲班(A方式) 乙班(B方式) 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附:. 18.(本小题满分13分) 四棱锥的底面与四个侧面的形状和大小如图所示. (Ⅰ)写出四棱锥中四对线面垂直关系(不要求证明); (Ⅱ)在四棱锥中,若为的中点,求证:∥平面PCD; (Ⅲ)在四棱锥中,设面PAB与面PCD所成的角为,求值. 19.(本小题满分13分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距的两点各建一个考察基地、视冰川面为平面形,以过两点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(图).在直线的右侧,考察范围为到点的距离不超过的区域;在直线的左侧,考察范围为到两点的距离之和不超过的区域. (Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图所示,设线段,是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间. 20、(本小题满分14分) 已知函数. (Ⅰ)求的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论与的大小关系; (Ⅲ)是否存在,使得对任意成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由. 21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换. 已知矩阵的两个特征值分别为. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)求直线在矩阵所对应的线性变换作用下的像的方程. (2)(本小题满分7分)选修4一4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,是上的动点,点满足,点的轨迹为曲线. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为求. (3)(本小题满分7分)选修4一5:不等式选讲 设不等式的解集为. (Ⅰ)求集合; (Ⅱ)若,试比较与的大小. 参考答案 www.zxsx.com