附录B 线性代数中的定义和基本概念
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列向量可看成是 n×1矩阵,而行向量可看成是 1×n矩阵.有时将一个标量看成 1×1矩阵 如果x是一个有 n个分量的列向量,而 A是一个n×n阶矩阵,那么 A x也是有n个分量的列向 量.这称为 矩阵—向量乘法. 转置是将矩阵的行和列交换位置,转置运算符记做 T.如果A是一个元素为aij 的m×n矩阵, 那么转置矩阵 AT是一个元素为 aji的n×m矩阵.转置也可以看成是这样: A的第1列作为转置矩 阵中的第1行,A的第2列作为转置矩阵中的第 2行,依次类推. 矩阵的共轭是一个矩阵,其中的元素是原矩阵中复数元素的共轭.结果记做 用的操作符是共轭转置,这将形成矩阵 MATLAB中记做A′. 两个列向量 x和y的内积常写成: 或等价的
H
.一个常
.该矩阵通常记做 A , A * ,在
欧氏范数可写成
x2 = x x
H
.注意: x Hy是一个标量,因为它是 1×n阶矩阵和 n×1阶矩阵的
内积.相反,xyH是一个n×n阶矩阵.
B.3 矩阵概念
矩阵不只是一个数字的集合.一些重要而有用的数学概念都与矩阵有关. 矩阵A的秩,r a n k(A)是矩阵A中线性无关列的列数,并且总是等于矩阵 A中线性无关行的 行数.如果 A为m×n矩阵,则秩小于或等于 min(m, n). 方阵A的行列式, det(A),是一个可以用不同方式定义和计算的标量.有下列结论:
3) 如果A中有两行相等,或某一行可由其他行线性表示,则 d e t (A) = 0.对于A的列也有同 样的结论. 4) 某行减去另一行与一个标量的乘积,行列式不变.对于列也有同样的结论. 5) 交换任意两行,行列式变号.对于列也有同样的结论. 6) 主对角线下方所有元素均为零的矩阵称为上三角矩阵,其行列式为主对角元素的乘积. 对于下三角矩阵也有同样的结论. 7) 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积.这是一个重要的乘法定理: det(A)det(B). 8) 矩阵行列式的计算可用高斯消元法来很好地求得. n阶线性方程组可以记成如下明确的形式: d e t (A B ) =
或用A=(aij),x=(x1, x2, …,xn) T和b=(b1, b2,…,bn) T来表示:
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Ax=b
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将向量a1, a2,…,an看作A的列,该方程组可被写成如下的半压缩形式. 当且仅当det(A)≠0时方程组有唯一解. m×n阶矩阵A的值域 并且 矩阵A的零空间 (A)是A的列a1, a2,…,a n的所有线性的组合.这是一个线性空间, (A)的维数等于 rank(A). (A)是所有使得 Ax=0的向量集合,即齐次方程组的解.这也是一个线性
空间,并且维数等于 m—rank(A). AT的值域和零空间的定义同上. 方程系A X = I是一个矩阵方程,其中 A是一个n×n矩阵,而 I为n阶单位阵.使用符号 x 1, x2, …,xn和e1=(1, 0, …,0) T, e2=(0, 1, …,0) T, …,en=(0, 0, …,1) T作为X和I的列,根据: 可以将矩阵方程写成线性方程组的集合: 当且仅当det(A)≠0时方程组有唯一的解. AX=I的解X被称为A的逆,记为 A-1, 有A A-1=I和A-1A=I. 逆的计算通常也使用高斯消元法.存在逆的矩阵称为非奇异矩阵,否则称为奇异矩阵. 方阵的特征值和特征向量可用如下的方程定义: Ax=lx 这等价于齐次方程组: (A-λI)x=0 对于每个矩阵 A和λ,向量 x = 0都是一个解.但是,如果 d e t (A-λI)≠0,则方程组还有非 零解.这些 x k≠0的解称为 A的特征向量,相应的 λ k称为特征值或特征根.在复平面上 A总有n 个特征值λ1, λ2,…,λn.特征值和它相应的特征向量称为特征对. 函数(λ)=det(A-λI)是λ的n次多项式,也称为 A的特征多项式.特征方程为 (λ)=0. 总有这样的结论:矩阵多项式 (A)=0,这就是Cayley-Hamilton定理. 如果C为非奇异矩阵, A和B定义成B= C-1A C,则称A和B为相似矩阵, A和B之间的变换 称为相似变换.相似变换不改变矩阵的特征值. 矩阵A的谱半径ρ(A)定义为maxi|λi|. 如果矩阵A,B的逆存在,则对逆,转置和共轭转置如下的式子成立:
如果所有的逆都存在
下面的等价链包含了上述的大部分定义. A为n阶方阵. 线性方程A x=b 有唯一的解 det(A≠0

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