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附录B 线性代数中的定义和基本概念
这是对线性代数和矩阵代数基础的一个概要, MATLAB中也包含了用到的所有概念.
B.1 向量
线性空间由可以进行加和数乘运算的向量组成. 线性空间Rn由列向量组成:
其中,元素 xk和yk为实数,长度为 n. 在线性空间 Cn中,元素可以为复数. 加法的定义是各元素分别相加:
数乘定义为各元素分别与数 α相乘:
所有元素均为零的向量定义为零向量.
在线性空间的 p个向量中,即 x 1, x 2, ……xp的集合,如果至少有一个向量可以由其他向量 线性表示,则称这 p个向量是线性相关的. 这里αi为标量. 如果不能这样表示,则称这些向量线性无关.线性无关最通常的定义是: α1x1+α 2x 2+…… +αpxp=0成立,当且仅当 α1=α2=……=αp=0. ■ 例B.1 向量
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附录B 线性代数中的定义和基本概念
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在线性空间 Rn中是线性无关的. ■ 线性空间中线性无关向量的最大个数称为线性空间的维数. R n和C n的维数均为 n.注意: 在有些情况下认为 Cn是2n维的更为方便,这样就能分成实部和虚部两部分. 线性空间的基指的是一些向量的集合,这个空间中所有的向量都能由这些向量线性表示. 基中向量的个数等于空间的维数.线性空间中有无穷多组基. ■ 例B.2 在例B.1中的向量形成R3和C 3空间中的基.向量:
形成同样空间中更常用的基,有:
这是R3空间中一个由基向量线性表示的任意向量.可用图 B-1来表示说明.
图B-1 向量和它的分量
■ C 中两个向量 x和y的内积或点积,通常写作 (x, y)或,定义为:
n
如果严格限在Rn空间中,则xi的复数共轭将是不必要的.可以使用下一节将要介绍的符号, (x, y)=xHy. Cn中向量的欧几里德范数 ||x||2定义为:
范数用来度量向量的大小或长度.还有许多其他范数,将在 B.6节中介绍其中的一些范数. 如果(x, y)=0,则称两个向量 x和y正交. 两个向量x和y之间的角度 是按下式来定义的:
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量都正交.
MATLAB 5 手册
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已经知道两个正交向量之间的夹角是 π/ 2或9 0度,即两个向量是垂直的.零向量与任何向 如果非零向量集合 x 1, x 2, …, x p中所有向量都正交,则它们构成正交系,其中的向量也是 线性无关的.因此,正交化比线性无关的条件更强.如果 x1, x2, …, x p形成一个正交系,并且 每个向量的欧氏范数均为 1,则称为标准正交系.标准正交系中的向量有如下关系:
■ 例B.3 例B . 2中的向量 e1, e2, e3构成R n(和C n)中的标准正交系.在标准的笛卡儿坐标系中,它们分 别代表x, y, z轴. ■ 除了以列向量的形式定义外,还可以以行向量的形式定义上述所有概念. 但是,使用列向量有几个优点.
B.2 矩阵介绍
矩阵是一个以行列形式排列的数字矩形数组.一个有 m行n列的矩阵称为m×n矩阵.例如, 这里有一个 2×3矩阵:
矩阵中的数字称为矩阵的元素或分量.如果矩阵命名为 A,矩阵A的元素称为 αij,这里i代 表行下标, j代表列下标,即 αij代表i行j列的元素. n×n矩阵称为方阵. 矩阵的大小由行数 m和列数n给出.对于方阵来说, n有时也指矩阵的阶数. 矩阵中从左上角到右下角的对角线称为主对角线,主对角线上的元素称为对角元素 aii.从 右上角到左下角的对角线称为反对角线.主对角线上方和下方的对角线分别称为上对角线和 下对角线. 大小相同的两个矩阵相加定义为矩阵的各个元素分别相加.矩阵 C=A+B,也就是元素 cij= aij+ bij. 数乘的定义也是每个元素分别相乘.矩阵 αA的元素为αaij. 矩阵乘法仅在左侧矩阵的列数等于右侧矩阵的行数时才有意义.矩阵 C=A B是一个 m×n 矩阵,这里 A为m×p矩阵,B为p×n矩阵.
元素cij为A中i行和B中j列的内积. 即使AB有意义,但BA不一定有意义.如果A和B都是n阶方阵,那么AB和BA将都有意义, 但是通常AB≠BA.矩阵乘法是不可交换的. n阶单位矩阵是一个 n×n矩阵,其中除对角线上元素为 1外,其余元素均为0,用I或In表示. A矩阵乘单位矩阵,结果不变,因此有 IA=A和AI=A.
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也是十分有用的.

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