充液系统动力学——第 4 章 全充液刚体系统——液体的有旋运动
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4. 全充液刚体系统—液体的有旋运动
当全充液刚体系统的稳态运动是旋转运动时, 在通常情况下, 由于腔内液体或多或少的 粘性作用, 刚体的稳态旋转运动将带动腔内液体的涡旋运动. 液体的涡旋运动是以液体的涡 量来表征的,而涡量通常是时间和空间坐标的函数.在一般情况下,问题是比较复杂的.本 章研究理想, 不可压缩液体的均匀涡旋运动, 准均匀涡旋运动及其充液刚体耦合系统的动力 学问题,运动稳定性问题和液体有旋运动的特征问题.
4.1 均匀涡旋运动
如果液体的涡量在运动过程中始终是时间的函数而与液体流场的空间坐标无关, 即在任 何瞬时液体所有质点的涡量相等,则称液体的运动为均匀涡旋运动. 考虑作均匀涡旋运动的理想,不可压缩液体,假设其速度可以表示成如下形式:
v = v 0 + × r +
其中 = ( t ) 是液体涡量.对式(4.1.1)作旋度运算,得到
(4.1.1)
1 ×v 2 即式(4.1.1)中的 满足液体的涡量定义. =
必须注意到,如果液体不作均匀涡旋运动,则液体运动不存在如式(4.1.1)的形式,这是 因为如果成立
v = v 0 + (t, r ) × r +
则对上式作旋度运算后得到
1 1 × v = + [( r ) ( ) r] 2 2 显然 ( t, r ) 并不满足液体运动的涡量定义.
推导公式(4.1.1)中均匀涡旋运动液体的势函数 所满足的方程,由速度公式(2.3.1),
v = v0 + ω × r + u
得到相对速度与势函数之间的关系:
u = ( ω ) × r +
由连续性方程(2.3.3),
u = 0
和液体在腔壁上的不可渗透性条件(2.3.4),
un = 0
导出势函数所满足的方程和边界条件:
2 = 0 = (ω ) r × n n
= ψ (ω )
P ∈V P ∈ V
(4.1.2)
同 3.1 节的推导方法相似,引入 Stokes-Rukovskii 矢势 ψ ,使之满足 (4.1.3)
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将 势 函 数 的 表 达 式 (4.1.3) 代 入 边 值 问 题 (4.1.2) , 得 到 Stokes-Rukovskii 矢 势 ψ 满 足 Newmann 边值问题(3.1.8):
2ψ = 0 ψ = r×n n
P ∈V P ∈ V
(4.1.4)
因此,作均匀涡旋运动的液体的速度公式(4.1.1)可改写为
v = v 0 + × r + ( ψ ) ( ω )
Helmholtz 涡量方程(2.2.18),导得
(4.1.5)
其中 Stokes-Rukovskii 矢势 ψ 由 Newmann 边值问题(4.1.4)所确定,而涡量则必须满足
& + ω × = ( ) ( ψ ) (ω )
(4.1.6)

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