版权所有:北京万学教育科技有限公司 海文考研官网:http://kaoyan.wanxue.cn 咨询电话:400-676-9000 总部地址:北京市海淀区北四环西路 66 号中国技术交易大厦 考研数学训练题集 2——高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分(数一) 一、选择题(每小题 3 分,共27 分) 1、设L为222(0) x y R R ? ? ? ,则22Lxyds ? ? ? 等于 ( ) ? ? A 2 2 0 r dr ? ? ? ? B 2 2 R ? ? ? C 2 2 0 0 R d r dr ? ? ? ? ? ? D 3 R ? 2、曲线积分 ? 2 (2 cos sin ) ( sin cos ) AB I x y y x dx x y x dy ? ? ? ? ? ,其中 ? AB 为位于第一象限中的圆弧 2 2 1 x y ? ? , (1,0) A , (0,1) B ,则I等于 ( ) ? ? A 2 ? ? ? B 1 ? ? ? C 0 ? ? D 2 3、设曲线 L 是区域 D 的正向边界,那么 D 的面积为 ( ) ? ? A L xdy ydx ? ? ? ? ? B L xdy ydx ? ? ? ? ? C 1 2 L xdy ydx ? ? ? ? ? D 1 2 L xdy ydx ? ? ? 4、设曲线 2 2 2 2 : x y z R x y ? ? ? ? ? ? ? ? ,则222y z ds ? ? ? 为()??A212R???B22R???C32R???D32R?5、设2222LyxIdx dy x y x y ? ? ? ? ? ? ? ,则()版权所有:北京万学教育科技有限公司 海文考研官网:http://kaoyan.wanxue.cn 咨询电话:400-676-9000 总部地址:北京市海淀区北四环西路 66 号中国技术交易大厦 ? ? A 对任意分段光滑的闭曲线,有0I???B在L不包含原点时 0 I ? ,其中 L 是任意分段光滑闭曲线 ? ? C 因为 P y ? ? 和Qx??在原点不存在,故对任何分段光滑闭曲线 L , 0 I ? ? ? D 在L包含原点时 0 I ? ,不包含原点时 0 I ? 6、设?为222()zxy???在xoy 平面上方部分,则IzdS ? ? ?? 等于 ( ) ? ? A 2 2 2 2 2 0 0 (2 ) 2 r d r r rdr ? ? ? ? ? ? ? ? ? B 2 2 2 2 0 0 (2 ) 1 4 d r r rdr ? ? ? ? ? ? ? ? C 2 2 2 0 0 (2 ) d r rdr ? ? ? ? ? ? ? ? D 2 2 2 2 0 0 (2 ) 1 4 d r r rdr ? ? ? ? ? ? 7、已知曲面 ? 为1xyz???在第一卦限部分且方向向下,则22()xyzdxdy ? ? ? ?? 等于 ( ) ? ? A 1 1 2 2 0 0 ( 1) x dx x y x y dy ? ? ? ? ? ? ? ? ? B 1 1 2 2 0 0 ( 1) x dx x y x y dy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C 1 1 2 2 0 0 ( ) x dy x y z dx ? ? ? ? ? ? ? D 1 1 2 2 0 0 ( ) x dx x y z dy ? ? ? ? ? ? 8、设?是旋转抛物面 2 2 , 1 z x y z ? ? ? 的外侧, xy D 是xoy 平面上圆域 2 2 1 x y ? ? ,则曲面积分 zdydz ? ?? 可化为二重积分 ( ) ? ? A 2 2 ( ) 2 xy D x y xdxdy ? ? ?? ? ? B 2 2 ( ) ( 2 ) xy D x y x dxdy ? ? ? ?? ? ? C 2 2 ( ) 2 xy D x y ydxdy ? ? ?? ? ? D 2 2 ( ) xy D x y dxdy ? ?? 版权所有:北京万学教育科技有限公司 海文考研官网:http://kaoyan.wanxue.cn 咨询电话:400-676-9000 总部地址:北京市海淀区北四环西路 66 号中国技术交易大厦 9、现有四个命题 ① 3 3 3 ( ) 0 x y z dv ? ? ? ? ??? ,其中 2 2 2 2 : x y z R ? ? ? ? ; ② 3 3 3 0 x dydz y dzdx z dxdy ? ? ? ? ?? ,其中 ? 为球面 2 2 2 2 x y z R ? ? ? 的外侧; ③ ( ) 0 div F ? ?? ,其中 2 2 2 F y i z j x k ? ? ? ?? ? ? ? ; ④ 2 4 ( ) 0 D xy yx dxdy ? ? ?? ,其中 2 2 : 1 D x y ? ? , 以上四个命题中正确的个数是 ( ) ? ? A 1 ? ? B 2 ? ? C 3 ? ? D 4 二、填空题(每小空 3 分,共33 分) 1、心形线 (1 cos ) r a ? ? ? 的全长(其中 0 a ? 是常数)为.2、曲面 2 3 z z e xy ? ? ? 在点 (1,2,0)处的切平面方程为 . 3、设简单闭曲线C 所围成区域的面积为 A ,则22()(sin ) x C e y dx x y dy ? ? ? ? ? ? . 4、第二类曲线积分 Pdx Qdy Rdz ? ? ? ? 化成第一类曲线积分是 ,其中 , , ? ? ? 为有向曲线弧? 上点 ( , , ) x y z 处的方向角. 5、(1)设xy D 是曲面 ? 在平面 xoy 上的投影,则曲面积分 ( , , ) f x y z dS ? ?? 可化为二重积分 ; (2)设?是yoz 平面的一个闭区域 yz D ,则曲面积分 ( , , ) f x y z dS ? ?? 可化为二重积分 ; (3)设?是xoz 平面的一个闭区域 xz D ,则曲面积分 ( , , ) f x y z dS ? ?? 可化为二重积分 . 6、设xy D 是曲面 ? 在平面 xoy 上的投影,则曲面积分 ( , , ) R x y z dxdy ? ?? 可化为二重积分 . 7、设有数量场 2 2 2 ln u x y z ? ? ? ,则 版权所有:北京万学教育科技有限公司 海文考研官网:http://kaoyan.wanxue.cn 咨询电话:400-676-9000 总部地址:北京市海淀区北四环西路 66 号中国技术交易大厦 ( I ) gradu ? ;( II ) (grad ) div u ? ;( III) (grad ) rot u ? . 三、简答题(每小题 8 分,共40 分) 1、设L为椭圆 2 2 1 4 9 x y ? ? ,其周长记为l ,求22(9 4 3 ) L x y x ds ? ? ? ? . 2、 (2 4) (5 3 6) L x y dx y x dy ? ? ? ? ? ? ? ,其中 L 为三顶点(0,0),(3,0) 及(3,2) 的三角形正向边界. 3、 2 (2 2 ) xy x x z dS ? ? ? ? ?? ,其中 ? 为平面 2 2 6 x y z ? ? ? 在第一卦限中的部分. 4、设?为下半球 2 2 2 z a x y ? ? ? ? 的上侧,? 是由 ? 与0z?所围成的空间区域,利用投影法计算 zdxdy ? ?? . 5、设?是由曲面 2 2 z x y ? ? 与222zxy???所围立体的表面外侧,求22xzdydz yzdzdx z dxdy ? ? ? ?? .
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