14.1导数的概念与运算
高三备课组
知识提要:
1.导数的概念:
(1)已知函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量⊿x,那么函数y相应地有增量
⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 就叫做函数y=f(x)在x0到x0+⊿x之间的平均变化率;
(2)当⊿x→0时, 有极限,就说函数y=f(x)在x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在x0处的导
数(或变化率),记作
;
1.导数的概念:
(3)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说y=f(x)在开区间(a,b)内可导,由这些导数值构成的函数叫做y=f(x)在区间(a,b)内的导函数,
记作 = = .
2.求导数的方法:
(1)求函数的增量⊿y;
(2)求平均变化率 ;
(3)求极限 .
3.导数的几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处
的切线的斜率,即斜率为 .过点P的切
线方程为:y- y0= (x- x0).
导数的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位移s的导数在t0的值,
v=
4.几种常见函数的导数:
(C为常数); ( );

; ;

; ;

; .
5.导数的四则运算法则:
6.复合函数的导数:设函数u= (x)在点x处有导数u′x= ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数,且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x).
例1 若
例2 求下列函数的导数:
(1)y=x2sinx; (2)y=ln(x+ );
(3)y= ; (4)y= ;
(5)y=(1+cos2x)2;(6)y=sinx3+sin3x.
例3 设函数y=ax3+bx2+cx+d在的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式 .
例4 利用导数求和:
(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0, N*);
(2)Sn= ( N*).
【课堂小结】

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