第五章
线性方程组直接解法
计算方法
—— 误差估计
病态矩阵
考虑线性方程组 Ax=b,如果 A 或 b 的微小变化会导致解的巨大变化,则称此线性方程组是病态的,并称矩阵 A 是病态的,反之则是良态的.
病态矩阵
例:
矩阵条件数
定义:设 A 非奇异,则称
为 A 的条件数.
矩阵的条件数
定理:考虑线性方程组 Ax=b,设 A 是精确的,b 有微小的变化 b,此时的解为 x + x ,则
证明:板书
矩阵条件数
定理:考虑线性方程组 Ax=b,设 b 是精确的,A 有微小的变化 A,此时的解为 x + x ,则
证明:板书
当 A 充分小时,不等式右端约为
矩阵条件数
条件数与范数有关,常用的有无穷范数和2-范数
Cond(A)2 称为谱条件数,当 A 对称时有
条件数性质
条件数的性质
Cond(A) 1
Cond( A)=Cond(A), 其中 为任意非零实数
若 R 是正交矩阵,则 Cond(R)2=1
若 R 是正交矩阵,则对任意非奇异矩阵 A,有
Cond(AR)2=Cond(RA)2=Cond(A)2
举例
例: 计算 Cond(A) 和 Cond(A)2
解:
Cond(A) =||A-1|| ||A|| 4 104
Cond(A)2= max / min 4 104
A 对称,且
举例
例:计算 Cond(Hk) 其中 H 为 Hilbert 矩阵
解:
k=1 时, Cond(H1) =1
k=2 时,
Cond(H2) =27
k=3 时,
Cond(H3) =748
Cond(H4) =28375
Cond(H10) =3.5 1013
作业
1. 教材 177 页,习题 13
2. 教材 178 页,习题 18
3. 教材 178 页,习题 20