专题2 函数概念与表示(B1二)
一.课标要求
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念;
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法,列表法,解析法)表示函数;
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性,最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义;
5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
二.命题走向
函数是整个高中数学的重点,其中函数思想是最重要的数学思想方法,函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例.
从近几年来看,对本部分内容的考察形势稳中求变,向着更灵活的的方向发展,对于函数的概念及表示多以下面的形式出现:通过具体问题(几何问题,实际应用题)找出变量间的函数关系,再求出函数的定义域,值域,进而研究函数性质,寻求问题的结果.
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主,以解答题形式出现的可能性相对较小,本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大.
预测高考对本节的考察是:
1.题型是1个选择和一个填空;
2.热点是函数概念及函数的工具作用,以中等难度,题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点.
三.要点精讲
1.函数的概念:
设A,B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:(1)"y=f(x)"是函数符号,可以用任意的字母表示,如"y=g(x)";
(2)函数符号"y=f(x)"中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.
2.构成函数的三要素:定义域,对应关系和值域
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:
①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);
②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;
③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义.
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题.
①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性,函数图象等).
3.两个函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域A,值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
4.区间
(1)区间的分类:开区间,闭区间,半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
5.映射的概念
一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.记作"f:AB".
函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件"非空数集"弱化为"任意两个非空集合",按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射.
注意:(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述.
(2)"都有唯一"什么意思
包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思.
6.常用的函数表示法
(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;

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