2001年全国数学高考试题与图形计算器
华东师范大学数学系 林 磊
从2000年夏季高考开始, 上海市的普通高等学校招生考试允许考生将科学型(即函数型)计算器带入考场, 这一举措无疑在全国教育界产生了巨大的影响, 从而也引发了如何将现代教育技术与中学课堂教育结合起来的讨论. 目前, 科学技术的发展, 已使计算器从函数型时代跨入了绘图型的时代. 在绘图型计算器中, 尤以美国德州仪器公司生产的TI-83 Plus 以及TI-92 Plus 计算器影响最大, 上海,北京,广东等地目前已经有多所中学在探索性课程中使用了这两种型号的计算器. 国家考试中心的同志也正在探讨不久的将来在全国的高考中使用计算器的可能性. 由于同TI-83 Plus相比, TI-92 Plus更具有独特的符号运算功能以及几何作图功能, 因此本文尝试利用TI-92 Plus 计算器来解答今年全国高考数学卷中的某些试题, 以从一个侧面来介绍这类计算器在中学数学教学中所能起的作用. 下图就是TI-92计算器的外貌.
本文中出现的题目, 都是今年全国数学高考理工农医类试卷中的题目.
若,则在
(A) 第一,二象限 (B) 第一,三象限
(C) 第一,四象限 (D) 第二,四象限 (第1题)
【解一】使用代数的方法. 我们可以通过对在各个象限中取一些特定的值来验证哪个选择项是正确的. 例如我们可以分别取,,,来验证是否大于零.利用计算器验证的结果见图1.

图1 图2
此处, 图中每一行执行的结果显示在该行的右边,"true"表示命题成立, "false"则表示命题不成立. 而每行中的"|"表示后面的内容为条件. 因此可以看出, 当取和时, 成立, 而取和时, 不成立. 由于和分别在第一和第三象限,所以应选(B).
【解二】 使用观察函数图象的方法. 在直角坐标函数作图状态下,进入Y= 菜单, 将y1设置为sin(x)cos(x), 再进入WINDOW(窗口设置)菜单, 设置窗口变量如下:
xmin=, xmax=, xscl=, ymin=-1, ymax=1, yscl=0.5.
其中xscl=和yscl=0.5分别表示在x轴和y轴上以和0.5为间隔画一个小线段. 画出的函数图象见图2. 从图中我们可以清楚地看到, 函数在第一和第三象限上大于零, 而在第二和第四象限上小于零.
过点,且圆心在直线上的圆的方程是
(A) (B)
(C) (D) (第2题)
【解】我们可以利用计算器中的几何作图功能来解本题. 首先进入APPS (应用)菜单, 选择1: FlashApps…, 进入Cabri Geometry (卡氏几何)子菜单 (注意: FlashApps中允许装载或卸载不同的几何作图软件, 目前主要有卡氏几何和几何画板两种), 选择New…(新建文件), 在弹出的对话框中输入变量名(即文件名) (此处为q2001, 见图3), 可进入作图屏幕. 由于我们在作图中需要用到坐标架, 所以按 ◆ F , 把光标移至第一行Coordinate Axes (坐标轴), 按一下向右的方向键, 再将光标移至2: RECTANGULAR (直角坐标), 按一次回车键, 则作图屏幕可显示直角坐标系, 用同样方法将Line Equations (直线方程)的状态改为ax+by+c=0, 将Circle Equations (圆方程)的状态改为(x-a)2+(y-b)2=r2(见图4).

图3 图4
最后, 再按一次回车键保存, 则进入如图5所示的作图屏幕. 选择F7菜单中的6: Numerical Edit (数字编辑), 编辑数字1和. 选择F4菜单中的9: Measurement Transfer (度量转移), 点中数字1, 再点中x轴, 将1转移到x轴(即在x轴上1cm处画一点). 用同样方法将转移到y轴. 再利用F4菜单中的2: Parallel Line (平行线)功能, 过x轴上的这点画关于y轴的平行线, 过y轴上的这点画关于x轴的平行线. 利用F2菜单中的3: Intersection Point (交点), 画出这两条平行线的交点, 这点就是A点. 利用F5菜单中的5: Symmetry (对称), 画出A点关于坐标原点的对称点, 即B点. 再利用F7菜单中的4: Label (标签), 为所画的两点标上字母A和B. 利用F7菜单中的1: Hide / Show (隐藏/显示) 功能, 将辅助线和数字隐去. 所得的图见图6. 由于圆过点A和B, 所以, 圆心在线段AB的垂直平分线上. 用F4菜单中的4: Perpendicular bisector (垂直平分线) 功能, 画出AB的垂直平分线. 由于直线过点和, 用刚才作A点同样的方法作出点和, 但是由于可能已经超出屏幕, 所以为了解决这一问题, 我们可以将光标指向原点,利用计算器左上角的"手"键,左手按住"手"键,右手按住向下的光标,将图整体往下平移,直到在屏幕上出现. 并利用F2菜单中的4: Line (直线)功能, 画出过这两点的直线. 根据题意, 该直线与前面所画的直线的交点就是圆心. 画出该交点, 并利用F3菜单中的1: Circle (圆)功能, 来作题中的圆: 先将光标指向圆心, 看到"THIS CENTER POINT"(这个中心点)这一提示后方可按回车, 并向B点移动光标, 此时屏幕中的圆逐渐变大, 等到光标移到B点附近时, 看到"THIS RADIUS POINT"(这个半径点)的提示后按回车, 画圆完成.

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