例1 一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M与N,它们只能在如图3-1所示平面内摆动.某一瞬时出现如图3-1所示情景,由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是 [ ]
A.车厢作匀速直线运动,M摆动,N静止
B.车厢作匀速直线运动,M摆动,N也摆动
C.车厢作匀速直线运动,M静止,N摆动
D.车厢作匀加速直线运动,M静止,N也静止
分析 作用在两个摆上的力只有摆的重力和摆线张力.
当车厢作匀速直线运动时,N摆相对车厢静止或摆动中经过平衡位置的瞬间,此时摆所受重力和摆线张力在同一竖直线上,可以出现如图3-1中所示情景.M摆所受重力和摆线张力不在一直线上,不可能静止在图中所示位置,但可以是摆动中达到极端位置(最大偏角的位置)的瞬间.A,B正确,C错.
当车厢作匀加速直线运动,作用在摆球上的重力和摆线张力不再平衡,它们不可能在一直线上,其合力使摆球产生水平方向的加速度.所以,M静止在图中位置是可能的,但N也静止不可能,D错.
答A,B.
说明 M摆静止在图3-1中情景,要求摆球所受重力和摆线张力的合力F=mg·tgα=ma,因此车厢的加速度与摆线偏角间必须满足关系(图3-2),即
a=gtgα.
例2 电梯地板上有一个质量为200kg的物体,它对地板的压力随时间变化的图像如图3-3所示.则电梯从静止开始向上运动,在7s内上升的高度为多少
分析 以物体为研究对象,在运动过程中只可能受到两个力的作用:重力mg=2000N,地板支持力F.在t=0-2s内,F>mg,电梯加速上升,t=2-5s内,F=mg,电梯匀速上升,t=5-7s内,F
电梯在t=2s时的速度为
v=a1t1=5×2m/s=10m/s,
因此,t=2-5s内电梯匀速上升的高度为
h2=vt2=10×3m=30m.
电梯在t=5-7s内的加速度为
即电梯作匀减速上升,在t=5-7s内上升的高度为
所以,电梯在7s内上升的总高度为
h=h1+h2+h3
=(10+30+10)m
=50m.
例3 为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速 v=120km/h,假设前方车辆突然停下,后车司机从发现这一情况,经操纵刹车,到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t=0.50s.刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重力的0.40倍,该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少 取 g=10m/s2.
分析 后车在司机的反应时间前,后看作两种不同的运动,这两种运动的位移之和即为两车距离的最小值.
解 在司机的反应时间内,后车作匀速运动.其位移为
s1=vt.
刹车后,在阻力f作用下匀减速滑行,其加速度大小为
汽车在刹车滑行过程中的位移为
所以,高速公路上两车间距至少应为
≈160m.
例4 在升降机地面上固定着一个倾角α=30°的光滑斜面,用一条平行于斜面的细绳拴住一个质量m=2kg的小球(图3-4).当升降机以加速度a=2m/s2竖直向上匀加速运动时,绳子对球的拉力和小球对斜面的压力分别为多少
(取g=10m/s2)
分析 以小球为研究对象,它随升降机向上加速运动过程中受到三个力作用:重力mg,绳子拉力T,斜面支持力N.由于这三个力不在一直线上,可采用正交分解法,然后列出牛顿第二定律方程,即可求解.
解 根据小球的受力情况(图3-5),把各个力分解到竖直,水平两方向.在竖直方向上(取向上为正方向),根据牛顿第二定律得
Tsinα+Ncosα-mg=ma. (1)
在水平方向上(取向右为正方向),根据力平衡条件得
Tcosα-Nsinα=0. (2)