正弦和余弦
【学习目标】
1.了解正弦,余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示),知道当锐角固定时,它的对边,邻边与斜边的比值也都固定这一事实.
2.熟记30°,45°,60°角的正弦,余弦值,并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数.
3.了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系.
4.会查"正弦和余弦表",即由已知锐角求对应的正弦,余弦值,已知正弦,余弦值求对应的锐角(或运用计算器).
5.会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题.
【主体知识归纳】
1.如图6—1,在Rt△ABC中,如果∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,那么∠A的正弦sin=,∠A的余弦cos=.
2.特殊角的正弦,余弦值.
三角函数
30°
45°
60°
sin
cosα
3.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.即sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).
4.三角函数表
三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据.
当角度在0°~90°变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大).
【基础知识讲解】
1.正弦,余弦的概念是本章的起点,同时又是重点,关键.这是本章知识的基础.
在直角三角形ABC中,当一个锐角(∠A)取固定值时,它的直角边与斜边的比值也是一个固定值.
,cos=.
实际上它们是一个函数关系,它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度.
在直角三角形中,由于斜边最长,所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数.
2.在查"正弦和余弦表"时,需要明确以下四点:
(1)这份表的作用是:求锐角的正弦,余弦值,或由锐角的正弦,余弦值,求这个锐角;
(2)这份表中,角精确到1′,正弦,余弦值具有四个有效数字;
(3)凡查表所得的值,在教科书中习惯用等号"=",而不用约等号"≈";根据查表所得的值进行近似计算,结果经四舍五入后,一般用约等号"≈"来表示;
(4)通过查表要知道:sin0°=0,sin90°=1,cos0°=1,cos90°=0.
在使用余弦表中的修正值时,如果角度增加(1′～3′),相应的余弦值要减小一些;如果角度减小(1′～3′),相应的余弦值要增加.
【例题精讲】
例1:如图6—2,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,且AC=4,CD=3,求∠B的正弦值和余弦值.
剖析:任意一个锐角的三角函数值,一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示,因此要求∠B的正弦,余弦值,首先要观察∠B是否在一个直角三角形中,边的比值可否求出.
解:∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴△ACD∽△ABC.∴∠ACD=∠B.
又∵AC=4,CD=3,由勾股定理,得AD=.
∴sinB=sin∠ACD=,
cosB=cos∠ACD=.
例2:如图6—3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,写出等于∠A的正弦的线段比.

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