(4)向量的坐标表示:教师首先提出:平面向量的坐标是如何确定的 学生回答后接着追问:它与点的坐标有何关系 起点不在原点的向量如何得到它对应的坐标 在学生理解并得出空间向量的坐标表示后,教师给出练习问题:写出下列各题中向量的坐标: (1) (2) (3)
〖反思〗通过教师恰当的问题引导,学生能运用类比思想,利用平行投影确定点(平面向量)坐标的方法,即将平面向量分解为与坐标向量分别共线的两个点(向量),让学生体会降维思想(由二维到一维).也运用降维的思想,先将空间点(向量)投影到坐标平面(三维到二维),再进一步投影到坐标轴方向(由二维到一维),从而确定坐标.
坐标系的不同建立方式得到不同的点的坐标的对应并作比较,能让学生理解坐标系建立的多样性,明确点的坐标确定需要坐标系建立的前提,也是数形转化的前提.将辅助长方体与平面直角坐标系中的矩形相类比,更有助于学生对三维坐标的理解.针对上面遇到问题都是坐标为正的情形,教师对坐标的正负进行了变式,让学生更清楚各位置点的空间坐标确定,也有助于学生借助长方体法表示点的三维坐标的运用.
通过问题的引导,学生能有效地从两个方面理解向量坐标的定义:一是将空间向量坐标定义与平面向量坐标定义,空间向量在一般基底下的分解相类比来理解.二是将任意空间向量通过平移转化到平移到以原点为起点,再以其终点坐标作为该向量的坐标.安排一定的有正有负的向量坐标变式练习,能让学生对向量的坐标表示逐步熟悉.
三,空间向量的坐标运算
1,原来的教学安排:
(1)运算法则:若,,
则,
,
,
,
(2)问题:①若,,那么,对吗 .
②若,,则.
(3)简单运用
练习,已知,若平行,求.
2,思考:
(1)在运算法则的教学中,为何需要运算法则,怎么得到运算法则都感觉不够自然.
(2)练习的主要作用应是让学生熟悉运算法则,而此问题还要学生考虑系数为零的情况,主要方向不够突出.
3,改进后的教学设计:
(1)教师先提出如下问题:已知求.让学生感觉在定义了向量的坐标后需要有向量的坐标运算.
(2)教师再提出问题:如果问题中的向量是,呢 引导学生类比平面向量坐标运算法则得到空间向量的坐标运算法则,……
(3)在由运算法则得到后,教师再提出问题:请判断,是否平行 这两向量是否垂直 最后由此解决问题:若,,那么, ,对吗
〖反思〗让学生体会知识发展的需要并参与知识的形成过程,能有效地帮助学生在原有认知结构基础上通过自主探究发展和形成新的知识结构,也更能让学生深入理解知识并能掌握蕴含其中的方法和思想.
四,知识运用
1,原来的教学安排
例3:如图,在棱长为a的正方体中,E,F分别是棱AB,BC的中点,求证:A1F⊥C1E
变式1:如果 E,F分别是棱AB,BC的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E
变式2:A1F⊥平面OC1E
2,思考:如何与引入更好地串联,还有如何突出运用向量的坐标运算解决问题.
3,改进后的教学设计:
引导学生合适地建系并运用向量的坐标运算解决问题.然后引导学生对此方法和通过线面垂直或是三垂线定理法证明本问题的方法进行比较,在得出简繁后突出数形结合的运用.在变式2教学后提出还有更多的如面面垂直,线线和线面及面面平行,一般的位置关系下的求角等问题呢
〖反思〗由于有前面的为何需要建系,如何合适地建系的铺垫,也有类比平面方法解决空间问题的主线,学生能自然地类比运用平面向量的坐标运算解决平几问题的方法.通过引导学生对两种方法进行比较,帮助学生理解空间向量坐标运算的实质---将几何问题通过向量转化为坐标运算,从而用代数方法加以解决,更是很好地把握住了数形结合思想的渗透点.最后的问题提出一方面明确了空间向量的坐标运算的更多学习目标,也为下面的内容学习作好了铺垫.
五,小结
1,原来的教学安排
(1)什么是空间直角坐标系
(2)空间向量,点在空间直角坐标系中的坐标
(3)空间向量运算在立体几何问题解决中的应用步骤
2,思考:应该增加这些内容中蕴含的数形结合思想和探究上述知识方法中的类
比思想.
3,改进后的教学设计:
(1)为何需要建立空间坐标系 如何合适地建立

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