2.1 柯西不等式 知识精要 1、简单形式的柯西不等式 定理1:对任意实数a, b, c, d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当向量(a, b)与向量(c, d)共线时,等号成立. 推论:若a, b, c, d∈R+,则(a+b)(c+d)≥(+)2,当向量(a, b)与向量(c, d)共线时,等号成立. 2、一般形式的柯西不等式 定理2:设, , …, 与, , …, 是两组实数,则有(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量(a1, a2, …, an)与向量(b1, b2, …, bn)共线时,等号成立. 推论:设a1, a2, a3;b1, b2, b3是两组实数,则有(a1b1+a2b2+a3b3)2 当向量(a1, a2, a3)与向量(b1, b2, b3)共线时,等号成立. 注意:①向量(a1, a2,…, an)与向量(b1, b2, …, bn)共线是指:或者向量(a1, a2, …, an)是零向量,即a1=a2=…=an=0;或者a1, a2, …, an不全为零,但存在实数λ,使得b1=λa1,b2=λa2,…, bn=λan.②运用柯西不等式解题的关键是构造两组实数,并依据柯西不等式的形式进行变形整理、探索尝试. 典例剖析 例1、设非负实数a1, a2, a3满足a1+a2+a3=1,求A=++的最小值. 解:为了利用柯西不等式,注意到(2-a1)+(2-a2)+(2-a3)=6-(a1+a2+a3)=5 所以:5A=(++)[(2-a1)+(2-a2)+(2-a3)] ≥++)2=9 ∴A≥ 等号当且仅当a1=a2=a3=时成立,从而A有最小值. 【评述】有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧;而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 例2、设a, b, c为正数且互不相等,求证:++> 【分析】我们利用9与2这两个常数进行巧拆,9=(1+1+1)2, 2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a), 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件. 证明: · =· =· ≥ =(1+1+1)2=9 ∴++≥, ∵a, b, c各不相等,∴等号不可能成立,从而原不等式成立. 【评述】我们进一步观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式之和,其中每一个因式都是项平方和,右边是左边中对应的两两乘积之和的平方,证题时,只要能将原题凑成此种形式,就可以引用柯西不等式来证明. 例3、已知a, b∈R+,a+b=1,x1, x2∈R+求证:(ax1+bx2)·(bx1+ax2)≥x1x2 【分析】如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一下,情况就不同了. 证明:(ax1+bx2)·(bx1+ax2)=(ax1+bx2)·(ax2+bx1)≥=(a+b)2x1x2=x1x2. 【评述】柯西不等式中诸量ai, bi 具有广泛的选择余地,任意两个元素ai, aj(或bi, bj)的交换,可以得到不同的不等式,因此在证题时根据需要重新安排各量的位置,这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便.这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧. 例4、设a1>a2>…>an>an+1,求证: ++…++>0 【分析】这道题初看似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构,我们不妨改为证: ·>1, 证明:为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)于是·(++…+) ≥=n2>1 即·(++…+)>1 ∴++…+> 故++…++>0 【评述】有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件,但是我们只要改变一下多项式的形诚结构,认清其内在的结构特征,就可以达到利用柯西不等式解题的目的.当然,具体如何变形改造是关键,也是难点,这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等. 例5、设实数x, y, z满足方程++=1,求2x+y+z-16的取值范围. 解:由柯西不等式: ≥=(2x+y+z+2)2 1*41≥(2x+y+z+2)2-≤2x+y+z+2≤ ∴-18-≤2x+y+z-16≤-18+ ∴2x+y+z-16的取值范围是[-18-,-18+] 【评述】柯西不等式中有三个因式,,,而一般题目中,只有一个或两个因式,在此题中,为了运用柯西不等式,我们需要设法嵌入一个常数(42+32+42),这也是利用柯西不等式的技巧之一.该常数的选取必须紧扣柯西不等式的形式结构,凸现柯西不等式"系数分离器"的本质. 例6、已知实数a, b, c, d, e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,试求e在何时取最值,最大值与最小值各为多少? 解:可将题设条件改写为: 由柯西不等式知:(a2+b2+c2+d2) (12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2 当且仅当a=b=c=d=2-时,取等号. 将(1) (2)式代入即有4(16-e2)≥(8-e)2 整理得:5e2-16e≤0 解得:0≤e≤ 所以当a=b=c=d=2时,e取最小值o. 当a=b=c=d=时,e取最大值. 【评述】求e的最值,应该要有关于e的不等式,已知条件的两个方程有5个未知数,如何消元并分离出e是问题的关键,柯西不等式在这里发挥了较好的作用. 基础训练 1、若a, b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是( ) A. B. C. D. 2、已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是( ) A. B. C. D. 3、已知正数a, b, c满足a+b+c=3,则++的最大值为( ) A. 9 B. 3 C. 16 D. 4 4、已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数,函数y=2+f (x2-1)的图象通过定点,若该定点在椭圆mx2+ny2=1上运动,则+的最小值是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 5、已知x, y, z∈R+,且++=1,则x++的最小值是( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 6、若正实数a, b, c使不等式++≥k·恒成立,则k的最大值 是.7、已知x>0, y>0,2x+y=1,求证:+≥3+2 8、设ab≠0,求证:(a2+4b2) (+)≥ 9、已知a, b, c∈R+,利用柯西不等式证明:36 10、利用柯西不等式证明: (1) sin4α+cos4α≥2) sin8α+cos8α≥ 11、已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值. 12、已知a, b是给定的正数,x∈(0, 1),求函数y=+的最小值. 拓展提高 13、设实数x, y满足3x2+2y2≤6,则P=2x+y的最大值是 . 14、函数y=2+的最大值为 . 15、用柯西不等式推导平面上点到直线的距离公式. 16、设实数a, b, c满足a2+2b2+3c2=,求证: + +≥1 17、已知实数a, b, c, d满足如下两个条件:a-2b+3c-d=5,2a2+3b2+2c2+6d2=10, 求证:≤a≤ 18、设a, b, c∈R+,且满足abc=1,试证明: ++≥ 19、已知+=1,求证:a2+b2=1 模拟高考 20、设a, b, c∈R+,若(a+b+c) (+)≥k恒成立. 则k的最大值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 21、对x1>x2>0,1>a>0,记y1=+,y2=+,则x1x2与y1y2的关系为( ) A. x1x2>y1y2 B. x1x2=y1y2 C. x1x20, n>0, m≠n)m+4n) ≥(+)2=9,当且仅当m=2n=时取等号 5、D x++=(x+ 当且仅当x==即x=3, y=6,z=9时取等号. 6、 ∵k≤(++)(a+b+c),又(++)[(a+b)+(b+c)+(c+a)] ≥( 即:(++) (a+b+c)≥,kmax= 7、证明:由柯西不等式知+=(+)(2x+y)≥(+)2 =(+1)2=3+2(当且仅当x=1-,y=-1时取等号) 8、证明:(a2+4b2) (+)=[a2+(2b)2] [()2+()2]≥(a*+2b*)2 =(+2)2=(当且仅当|a|=|b|时取等号) 9、证明: =· ≥=(1+2+3)2=36 10、证明:(1) 2(sin4α+cos4α)=(12+12) [(sin2α)2+(cos2α)2]≥(sin2α+cos2α)2=1 即有:sin4α+cos4α≥(当且仅当α=(k∈z)时取等号) (2)sin8α+cos8α=*(12+12) [(sin4α)2+(cos4α)2] ≥(sin4α+cos4α)2={(12+12)[(sin2α)2+(cos2α)2]}≥(sin2α+cos2α)2 =(当且仅当α=(k∈z)时取等号) 11、解:(x2+y2+z2) (12+22+32)≥(x+2y+3z)2=1 ∴x2+y2+z2≥(当且仅当x=,y=, z=时取等号) ∴(x2+y2+z2)max= 12、解:∵x∈(0, 1),∴1-x∈(0, 1) ∴y=+=(+)[x+(1-x)]≥(·+·)2 =(a+b)2 (当且仅当=,即x=时取等号) ∴ymin= (a+b)2 13、 (2x+y)2≤=(3x2+2y2)≤*6=11 ∴(2x+y)max= 14、0 y=2+· x∈[-, 1] ∴y2=(2+·)2≤[(+)2] [22+()2] =[(1-x)+(x+)](4+2)=9 (当且仅当x=0时取等号) ∴ymax=0 15、证明:已知点P1(x0, y0)及直线l: Ax+By+c=0 (A2+B2≠0) 设点P2 (x1, y1) 是直线l上的任意一点,则Ax1+By1+C=0……① |P1P2|=………② 点P到直线l的距离就是|P1P2|的最小值 由柯西不等式有·≥|A(x0-x1)+B(y0-y1)| =|Ax0+By0+C-(Ax1+By1+C)=|Ax0+By0+C| ∴|P1P2|≥…………③ 当且仅当(y0-y1) : (x0-x1)= ,即P1P2⊥l时,③式取等号 即点到直线的距离公式为|P1P2|= 16、解:由柯西不等式,(a+2b+3c)2≤[()2+()2+()2] [(a)2+(b)2+(c)2] =6(a2+2b2+3c2)=6*=9 所以,a+2b+3c≤3 所以,3-a+9-b+27-c=3-a+3-2b+3-3c≥3≥3·=1 17、证明:由已知得:2b-3c+d=a-5 ………① 3b2+2c2+6d2=10-2a2………② 由柯西不等式得:(2b-3c+d)2≤[(b)2+(c)2+(d)2] [()2+(-)2+()2] =(3b2+2c2+6d2) (++)=6(3b2+2c2+6d2) 由①②得:(a-5)2≤6(10-2a2) ∴13a2-10a-35≤0 ∴≤a≤ 18、证明:因为abc=1,故欲证不等式等价于述不等式. ++≥,由柯西不等式得: [++] [a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)] ≥ (++)2 =(bc+ca+ab)2 ∴++≥ =≥= 19、证明:由柯西不等式:(a+b)2≤(a2+b2) [()2+()2] =(a2+b2) (2-a2-b2)=-(a2+b2)2+2(a2+b2) 由已知a+b=1 有-(a2+b2)2+2(a2+b2)≥1,∴(a2+b2)2-2(a2+b2)+1≤0 即[(a2+b2)-1]2≤0,∴a2+b2=1 20、D (a+b+c) ()=[a+(b+c)]() ≥=4 (当且仅当a=b+c时取等号) ∴k≤4 21、C y1y2=x1+ax2) (x2+ax1) ≥(+)2 ==x1x2 当取等号时,需满足=,即要满足x1=x2,这与已知矛盾,∴y1y2>x1x2 22、12-2 ∵x2+y2=6x-4y-9 ∴(x-3)2+(y+2)2=4 由柯西不等式:[(x-3)2+(y+2)2] [22+(-3)2]≥[2(x-3)-3(y+2)]2 即有:(2x-3y-12)2≤52 ∴-2≤2x-3y-12≤2 ∴2x-3y≥12-2 ∴(2x-3y)min=12-2