柯西不等式的几何意义和推广 3. 柯西不等式的几何意义 柯西不等式的代数形式十分简单,但却非常重要.数学当中没有巧遇,凡是重要的结果都应该有一个解释,一旦掌握了它,就使这个结果变得不言而喻了.而一个代数结果最简单的解释,通常驻要借助于几何背景.现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释. (1)二维形式 图3-1 如图,可知线段,及的长度分别由下面的式子给出: 表示与的夹角.由余弦定理,我们有 将,,的值代入,化简得到 而,故有 于是 这就是柯西不等式的二维形式. 我们可以看到当且仅当,即当且仅当是零或平角,亦即当且仅当在同一条直线上是时等号成立.在这种情形,斜率之间必定存在一个等式;换句话说,除非,我们们总有. (2)三维形式 对于三维情形,设是不同于原点的两个点,则与之间的夹角的余弦有 又由,得到柯西不等式的三维形式: 当且仅当三点共线时,等号成立;此时只要这里的都不是零,就有 4. 柯西不等式的推广 前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的,在复数范围内同样也有柯西不等式成立. 定理:若和是两个复数序列,则有 , 当且仅当数列和成比例时等式成立. 证明:设是复数,有恒等式 若(其中),则有 由此推出了复数形式的柯西不等式. 除此之外,我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论. 定理1:若和是实数列,且,则 当时,这个不等式即为柯西不等式. 定理2:若和是正数序列,且或,则 这个不等式实际上是Holder不等式的推论. 我们知道,当数列和取任意项时,柯西不等式均成立.对于所考察的数列和具有偶数项时,我们就可以加细柯西不等式. 定理:若且是实数列,则 对于柯西不等式,除了这种数列形式之外,还存在积分形式的柯西不等式. 定理:设和是在上的实可积函数,则 当且仅当和是线性相关函数时等式成立. 证明:对任意实数, 有即即这个不等式也称为Schwarz不等式. 除了在积分上柯西不等式有这种应用之外,在概率中也有类似的柯西不等式形式. 定理:对任意随机变量和都有 .等式成立当且仅当.这里是一个常数. 证明:对任意实数,定义; 显然对一切,,因此二次方程或者没有实数根或者有一个重根,所以,. 此外,方程有一个重根存在的充要条件是.这时.因此,. 有了这个结论,对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助. 5. 结论 总之,柯西不等式作为数学不等式中一个基础而且重要的不等式,对解题时起了举足轻重的作用.它将两数列中各项积的和与和的积巧妙得结合在一起,使许多问题得到了简化.对它的探究为我们今后能够更好得学习数学有着很大的意义.