从窑洞的冬暖夏凉谈起
——一种居室温度调节的节能前景
武际可 徐丹
(北京大学力学与工程科学系,100871)
摘要
本文通过一个地表热传导模型的建立及求解, 得出了地下温度变化与地表存在相位差
并且振幅衰减, 某个深度以下温度恒定为全年平均温度的结论. 由此讨论了一种温度调节的 设想,论证了可行性并与现有方案进行了比较. 关键词 热传导,温度调节,供热
冬暖夏凉的窑洞
窑洞,是我国西北部黄土高原地区的传统民居建筑,广泛分布于陕北,山西,陇东,宁 夏南部以及豫西等地.早在古代,我们的先民就有"凿穴为居"的习俗,至今居住人口仍达 四千万以上. 生活在黄土高原的人们为什么选择窑洞这种居室形式呢 黄土的直立性为开凿窑洞提 供了保证. 黄土高原被众多的沟豁切割得支离破碎, 在沟豁的岩面上开凿窑洞是十分方便的. 对于在黄土高原塬面保存较好的平坦地区, 人们就凿掘出方形或长方形平面的深坑, 沿着坑 壁开凿窑洞,称为地坑窑或天井窑.其间的生活被描述为"上山不见人,入村不见村,平地 起炊烟,忽闻鸡犬声" . 除了上述因地制宜,能够和易于建造的优点外,窑洞的另一显著特点是保温隔热,冬暖 夏凉,其温度和相对湿度的稳定性好,有益于人们的健康.住在窑洞里舒适,能延年益寿, 难怪它深受人们的喜爱. 窑洞的冬暖夏凉,古人就已清楚.在明人陈继儒所著的《销夏部》中就有不少古人利用 天然洞穴的凉爽以避暑的记载.其中有一则说: "巨鹿金乡山北有石洞口,清凉,深十余丈. 内凿四小阁,阁外一堂,陛高三尺,堂外两门,门外两大阁.石道长三十丈,阔十有六尺. 世传秦始皇避暑宫也. "说明在很的古时候,窑洞挖得已经有相当的规模,甚至有宫殿的形 制,用作避暑.该书在摘录一篇宋朝人写的《石乳洞记》的末尾说: "洞之中,冬温而夏凉. " 为什么窑洞和天然洞穴里冬暖夏凉呢 从现代科学技术的角度看, 是否可以利用这种现 象呢 值得我们仔细分析一下.
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窑洞里冬暖夏凉的原因
设 u (t , z ) 为在 t 时刻距地面深度为 z (向下为正方向)处的温度,因为从地表向地下传 热是一个热传导过程,所以 u 满足下面的一维热传导方程及边条件
u 2u = κ 2 , t ≥ 0, z ≥ 0 z t u (0, t ) = cos ω t , t > 0
其中 ω 为地表温度变化的圆频率.方程中系数 κ = 度和比热容. 本来,在边条件的提法中,用三角函数来近似代表地面温度变化,应当是
(1)
k , k , ρ , c 分别为土壤的导热系数,密 ρc
u* (0, t ) = A cos ω t + B
(2)
A 为地表温度变化的振幅, B 为地面平均温度.由于热传导方程和它的边条件都是线性的,
所以可以对上述边条件右边各项分别求解, 然后将所得的解叠加. 对应第二项平均温度项的 解很容易得到,即在时间和空间上仍是常数.所以剩下的问题就是去按(1)式的边条件去求 解 u( z, t ) . 问题(1)具有如下封闭形式的解
u ( z, t ) = e α z cos(ω t α z ) , t ≥ 0, z ≥ 0
其中, α =
(3)
ω ρ cω = . 2κ 2k
从而,满足实际边条件(2)的解为
u* ( z, t ) = Ae α z cos(ω t α z ) + B .
好了,有了解(4) ,我们就可以来回答窑洞里为什么冬暖夏凉的问题了.
(4)
根据(4)式,地下温度变化与地表存在一个相位差 α z ,即地下温度的变化在时间上要落 后于地面.从直观上理解,土壤的导热能力不强,因此地表温度的变化要经过一定的时间才 能传到地面下很深的土壤.土壤层越深,这个落后的时间也越长.当地下某个深度相位差为
π 时,则正好和地面温度变化相反,地面温度达到最高(低)点时,地表却处于最低(高)
点.
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现在设地下是由接近于粘土的材料组成的,查得在 20 C 时, ρ = 1457.0kg / m ,
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c = 0.21kcal / kg °C , k = 1.000kcal / h m °C [2],将这些数据代入 α z = π 计算得
z = π /α = π 2k π kT = ρ cω ρc
考虑到日温度变化圆频率 ω1 = 2π / T1 , T1 = 24h ,年温度变化圆频率 ω 2 = 2π / T2 ,

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