Hartle《Gravity》习题解答 《 》
November 7, 2007
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习题分属如下:§5.1 1-2;§5.2 3,5-7, 12匀加速直线,23;§5.3 4,812,Box5.1: 13, 14,21, 22,23;§5.6 15, 18-20;§5.5 16, 17. 5.1 (a) (a)aa = (2)2 +1 = 3
h i → →→ → → → a a a aα = γ 2 γ 2 V , γ 2 ( V ) V +
(1)
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h → →→ → →i → → → a u = ηαβ aα uβ = γ 3 γ 2 V + γ 2 ( V ) V V + V = a a a
→ → → → γ 3 [γ 2 + γ 2 V 2 + 1] V = γ 3 [1 + 1] V = 0 a a
R
5.5 首先回答图5.6图例提出的两个问题:1.在纸面上双曲线弧长为
R h i
√
dt2 + dx2 =
a1
cosh2 (aτ ) + sinh2 (aτ ) dτ (不能表达为基本函数),被积
函数恒大于零且为|τ |的增函数,所以等τ 间隔时空点之间的纸面 上欧式平面几何双曲线弧长随|τ |增大而增大.2.在纸面上四速度 (p.85(5.31))的欧式平面几何距离为 (ut )2 + (ux )2 =

cosh2 (aτ ) + sinh2 (aτ ) =
2 cosh2 (aτ ) 1,随|τ |增大而增大.
回答本题:Yes.(题面勘误为Figure 5.6.)比较p.86 (5.40)和p.83 (5.24),aα = a2 xα ,因此对于匀加速直线运动的世界线上任一点 处的四加速度矢量,其在时空图中的方向就是从原点(0, 0)向该 点连接的射线段的方向,其(类空)时空长度为a,但在纸面上 欧式平面几何长度为 (at )2 + (ax )2 = a cosh2 (aτ ) + sinh2 (aτ ) = a 2 cosh2 (aτ ) 1,即上述射线段的平面几何长度的a2 倍(aα = a2 xα ),随|τ |增大而增大.a与u在平直时空几何中正交a u = a cosh(aτ ) cosh(aτ )+a cosh(aτ ) cosh(aτ ) cosh(aτ ) = 0,构成从(t, x)惯 性 系 以v = dx/dt = (dx/dτ )/(dt/τ ) = ux /ut = tanh(aτ )的 速

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度Lorentz boost过来的瞬时共动惯性系的(t , x )轴方向,u即t 轴 基矢量,a/a即x 轴基矢量.但在纸面平面几何中不正交,而是关 于45o 线对称,纸面上的斜率互为倒数,这也说明在平直时空几何 中是正交的.见图1.
5.6 (a) No. | dx | t = g 1 sinh(gτ ).匀 √ = g 1 1 + g 2 t2 = g 1 cosh(gτ ).
加速直线运动.x =
√ gtdt
1+g 2 t2
→ (d) 方法一:| | = a
dV dt
=
d2 x dt2
= g(1 + g 2 t2 )3/2 .利用第4题结
√ 果(1),f α = maα = m(g 2 t, g 1 + g 2 t2 , 0, 0).由(5.49),三力 → 分量为F i = (mg, 0, 0),或直接利用(b)的结果 F = 分量为F i = m( d(γV ) , 0, 0) = (mg, 0, 0). dt 方法二:f α = maα = m ddτx2 = mg 2 xα = mg(sinh(gτ ), cosh(gτ ), 0, 0) = mg(gt, √ 1 + g 2 t2 ),结果同上.其中第三个等号即上题解答提
2 α
→ d(γm V ) ,其 dt
到的比较p.86 (5.40)和p.83 (5.24). → 5.7 这是匀加速直线运动.注意:如果在一个惯性系中 方向与初始 a

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