,ε n
F n = L (ε1 ,ε 2 ,
,ε n )
, x n 1
例6.5.4 求线性空间 F [ x ]n 生成元并表示之. 解:F [ x ]n 的一个生成元是: 1, x ,
第六章 线性空间 F [ x ]n = L(1, x ,
, x n 1 )
生成元与由它生成的子空间有以下关系:
定理6.5.2 L (α1 , α 2 , , α r ) = L ( β 1 , β 2 , , β s ) 的充要条件是:
α1 , α 2 ,
,α r 与 β1 , β 2 ,
, β s 等价. L (α1 , α 2 ,
,α r ) = L ( β1 , β 2 ,
, α r ) 的维数等于
, βs )
向量组 α 1 , α 2 , 证明:若 因为 α i ∈ L ( β 1 , 同理 β 1 ,
, α r 的秩.
L ( α1 , α 2 ,
, β s ) , 故 α i 可由 β 1 ,
, β s 线性表示, = 1, i
, α r 线性表示,故
,r
, β s 中每个向量可由 α1 ,
α1 ,
反之,若α1 ,
, α r 与 β 1 , , β s 等价.对α ∈ L (α1 , , α r )
, α r 与 β 1 , , β s 等价.
α
可由 β 1 , , β s 表示,即 L ( α1 , , α r ) L ( β 1 , , β s ) .同理 L ( β 1 , , β s ) L ( α1 , , α r ) , 故 L ( α1 , , α r ) = L ( β 1 , , β s )
第六章 线性空间
设 α1 , α 2 ,
, α r的秩为s,α i 1 , α i 2 ,
, α is ( s ≤ r )是它的一个极
, α r )} = s
大线性无关组,由上面知 L (α1 , , α r ) = L (α i 1 , α i 2 , , α is ) 因为 dim{ L(α i 1 , , α is )} = s, 所以 dim{ L(α1 , 由这个定理知,只要子空间 L(α1 ,
, α r )不是零空间,则总
可以找出一组线性无关的向量,使之由这组极大线性无关组生 成.特别地当 α 1 , α 2 , , α n是线性空间V的一个基时,总有
V = L ( α1 , α 2 ,
,α n ) .
第六章 线性空间
定理6.5.3:设W是数域F上n维线性空间V的一个m维子空 α 间, 1 , α 2 , , α m 是W的一个基,则 α1 , α 2 , , α m 可扩充为整个 空间V的基,即可在V中找出 n m向量:α m +1 ,

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