§6.5 线性子空间
§6.5 线性子空间
一,子空间的定义及判别 二,子空间的构成
第六章 线性空间
一,子空间的定义及判别 定义1:设W是线性空间V的一个非空子集,如果W中元 素对于V的加法和数乘也作为F上的线性空间,则称W是V的 一个子空间.
W 例6.5.1:W1 = {( a , 0 ) a ∈ F }, 2 = {( 0, b ) b ∈ F } 都是 F 2 的
子空间.零空间 {0}, V 本身也是线性空间V的子空间,通常把 它们称为平凡子空间,V中其他子空间称之为真子空间. 由定义知,要判别数域F上线性空间V的一个非空子集W 是不是V的子空间,既要验证W中任两个元素的和以及F中任 一数与W中任一向量的数乘是否封闭,还要验证加法是否满 足四条运算律,数乘是否满足四条运算律.实际上是否要这 样做呢
第六章 线性空间
定理6.5.1:设W是线性空间V的非空子集,W作为V的一 个子空间的充要条件是:对 α , β ∈ W , k ∈ F ,必有
α + β , kα ∈ W
证明:必要性显然. 下证充分性. 若对 α , β ∈ W , k ∈ F ,必有 α + β , kα ∈ W . 由于W中 向量必是V中向量,故对 α , β , γ ∈ W , k , l ∈ F α 1) + β = β + α , 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ),
3)取 k = 0 kα = θ ∈ W , st α + θ = α , α ∈ W 4)取 k = 1 kα = α ∈ W , st α + ( α ) = θ , α ∈ W 5) 7)
k (α + β ) = kα + k β , 6)( k + l )α = kα + lα ,
k ( lα ) = ( kl )α ,
8) 1α
= α.
这就完成定理的证明.
第六章 线性空间
推论:数域F上线性空间V的一个非空子集W作为V的子 空间的充要条件是对W中任意向量 α , β 及F中任意数 k , l , 都有
kα + l β ∈ W .
充分性:对 α , β ∈ W , k , l ∈ F , 有 kα + l β ∈ W 取 k = 1, l = 1 α + β ∈ W ; 取 k = 1, l = 0 kα ∈ W .
第六章 线性空间
二,子空间的构成 先考虑V中一组向量的所有可能的线性组合是不是V的子 空间.
α 设V是数域F上的线性空间, 1 , α 2 ,
考虑 α1 , α 2 ,
, α n 是V中一组向量, + knα n 的全体
, α n的一切线性组合 k1α 1 + k2α 2 +
所成的集合,这个集合是非空的,且该集合中元素对加法和 数乘是封闭的,因而它是V的一个子空间,这个子空间是由 向量组 α1 , α 2 , , α n 生成的子空间.记为
L ( α1 , α 2 , ,α n )
L ( α1 , α 2 ,
, α n ) = {α α = k1α1 + k2α 2 +
+ knα n , ki ∈ F }
向量α 1 , α 2 ,
第六章 线性空间
, α n 称为 L (α 1 , α 2 ,
, α n )的生成元.
V中任一组向量 α 1 , α 2 ,
, α n 可生成V的一个子空间,
那么V中任一个子空间是否一定可由一组向量生成 对有限维线性空间V,答案是肯定的. 设W是有限维空间V的子空间,则W也是有限维的.设 α1 , α 2 , , α n 是W的一个基.由于W中任一向量可由这个基 线性表示,故有 W = L (α1 , α 2 ,
,α n )
例6.5.2 求线性空间 F n 生成元并表示之. 解:F n 的一个生成元是: ε 1 , ε 2 ,

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