I P0 z = ∑ M iP0 z
i =1 n
P0 z 轴指过瞬心 P0 与 Oz 平行的轴, I P0 z 为刚体对 P0 z 轴
的转动惯量, M iP z 为刚体所受第 i 个外力对 P0 z 轴的 力矩. 定理成立的条件: I P z 为常量, 或瞬心到质心 的距离为常量. 定理的适用范围…… 定理的优点…… 定理的证明: 设 O 为惯性系 Oxyz 中固定参考点, ri 为 m 对 O 点位 P0 为瞬心, mi 为刚体上任一质点, ri ′′ 为 m 对 P0 的位置矢量, rP 为 P0 对 O 点的 置矢量, 位置矢量. 显然
0
0
i
i
0
ri ′′= ri rP0
i =1
n LP0 = ∑ ri ′′× mi vi
vi 为 mi 相对 Oxyz 系的速度.
 dLP0
d n = ∑ (ri rP0 ) × mi vi dt dt i =1
= ∑ ri × mi vi rP0 × mi vi + ri ′′× mi vi
n i =1 n × mv + r ′′× ( F ( e ) + F ( i ) ) = rP0 ∑i i c i i =1
n × mv + r ′′× F ( e ) = rP0 ∑i i c i =1
[
]
rP0 是瞬心空间点的移动速度. rP0 若瞬心到质心距离不变,
rP0 // vc , 在此条 则
件下有
n (e) LP0 = ∑ ri ′′× Fi i =1
刚体平面平行运动是普物力学中讨论过的问 题, 在理论力学中仍为一个重点, 读者应注意在 以下几方面的提高: (1)会用不同形式的动力学方程组处理较复杂 的问题; (2)能正确表达较复杂的无滑条件; (3)会处理有滑滚动和无滑滚动的判断及其相 互转化的问题. 例题 11 半径为 R ,质量为 m 的匀质圆柱体, 沿倾角为 α 的固定斜面无滑滚下, 试求圆柱质心沿 斜面方向的加速度及圆柱所受的约束力; 并判断 保持无滑滚动, 圆柱与斜面间摩擦因数应满足的
条件. W = mg , 解 以圆柱为研究对象, 圆柱受重力 F f 的作用, 如图所示. 建立坐 支撑力 FN , 摩擦力 标系 Oxy , 并规定 θ 正方向如图, 设 t = 0 时 B 点与 O 点重合. 圆柱无滑条件可用两种方法写出: (1) 圆柱上与斜面接触的点的速度为零, 则 vP = ( xc Rθ )i = 0 即 xc Rθ = 0 (2) 根据弧长 PB 与 PO 相等, 则 xc = Rθ . 方法一: 根据基本运动微分方程组, 得
mc = mg sin α F f x
mc = 0 = mg cos α FN y
1 mR 2θ = F f R 2 x c Rθ = 0
可解出
c = x 2 1 g sin α , FN = mg cos α , F f = mg sin α . 3 3
≤ FN ,
保持无滑, 要求 F f
即要求 ≥ 3 tan α .
1
x 方法二: 用机械能守恒定律求 c . 不做功, 所以机械能守恒, 以 t = 0 时质心 C 位置为 势能零点, 则
1 2 1 1 mx c + mR 2θ 2 mgxc sin α = 常量 2 2 2 利用无滑条件 x = Rθ , 并对时间求导数,
c
因 FN 与 F f
即可求出
c = x

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