§6-6 刚体动力学中的简单问题
讨论刚体动力学中的一些较简单的问题: 刚 体平动动力学, 刚体定轴转动动力学(简单情况) 和刚体平面平行运动动力学. ( 1.讨论将在普物力学的基础上展开; 2.都可以作为质点系动力学的直接应用, 无需再做专门的理论准备.) 一,刚体平动动力学 刚体的平动可用基点的运动代表, 在动力学 中必须选用质心为基点, 用质心运动定理足以确 定以质心为代表的刚体的平动. 为保证刚体不发生转动, 作用在刚体上的外 力对质心的力矩之和必须为零. 二,刚体定轴转动动力学 自由度 s = 1. 设固定轴为 Oz 轴, 规定角坐标 的正向与 Oz
轴正向成右手关系, 则刚体角速度 ω = k . 根据质
点系对 Oz 轴的角动量定理
Lz = M z
定轴转动刚体对固定轴 Oz 的角动量
L z = I
I 为刚体对 Oz 轴的转动惯量, 则得到
 I = M z
即为刚体定轴转动的运动微分方程. 也可以用定轴转动刚体的动能定理
1 d( I 2 ) = M z d 2
来确定其转动规律. 如果在运动中满足机械能守 恒条件, 则也可以用机械能守恒
1 I + V = 常量 2
作为其动力学方程. 例题 10 矩形匀质薄片 ABCD , 边长分别为 a 和 b , 质量为 m , 初始时绕竖直固定轴 AB 以角速度 ω 0 转动. 此薄片每一部分均受空气阻力, 其方向 与薄片垂直, 其大小与面积及速率平方成正比, 比例系数为 k . 设固定轴轴承光滑, 求经过多少时 间后, 薄片角速度的大小减为初始值的一半. 解 建立与薄片固连的坐标系 Axyz , 刚体受力 分析如图所示. 薄片对 Ay 轴转动惯量 I = ma 2 3 , 薄
2 2 片上面元 dxdy 所受阻力为 dFR = kx ω y dx dyk ,
轴承的
约束力和重力对 Ay 轴力矩为零. 则薄片转动运动 微分方程为
a b 1 1 2 2 2 y = ∫ ∫ kω y x 3 dxdy = ka 4 bω y ma ω 0 0 3 4
上式可化为
∫
ω0 2
dω y
2 ωy
ω0
3 ka 2 b t = ∫0 dt 4 m
求出角速度大小减至 ω0 2 的时间为 t = 4m 3ka 2 bω 0 . 三,刚体平面平行运动动力学 自由度 s = 3 . 在惯性系 Oxyz 中研究, 如图所示. 在动力学中 必须选取刚体的质心 C 为基点. 一般情况下我们规 定 角的正向与 z 轴的正向成右手关系. 我们用质心运动定理和质心系 Cx ′y ′z ′ 中对 Cz ′ 轴 的角动量定理构成刚体平面平行运动的基本动力 学方程组
x mc = Fx y mc = Fy I = M z' z '
在受到约束情况下, 刚体所受外力包括主动 力和约束力. 此时应将上式与约束方程联立构成 刚体动力学方程组. 此外, 还可以用以下几个定理来建立刚体的 运动微分方程: 1. 对惯性系 Oxyz 的动能定理.
dT = ∑ Fi dri
n i =1
式中 T =
1 2 1 mvc + I z′ 2 . 2 2
若刚体所受非保守力不做功, 则机械能守恒
T +V =
2.
1 2 1 mvc + I z′ 2 + V = 常量 2 2 对质心系 Cx ′y ′z ′ 的动能定理.
dT ′ = ∑ Fi dri ′
3. 惯性系 Oxyz 中对固定轴 Oz 的角动量定理.
式中 Lz = (rc × mvc ) k + I z′ .
Lz = M z
4. 在惯性系 Oxyz 中对瞬心 P0 的角动量定理.

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